Logistic回归中的拟合优度检验；我们要测试哪个“合适”？

我指的是这个问题及其答案：如何比较通过Logistic回归开发的模型的（概率）预测能力？@Clark Chong发表，@ Frank Harrell回答/评论。并在Hosmer-Lemeshow测试和评论中质疑的自由度$\chi^2$。

我已经阅读了DW Hosmer，T. Hosmer，S. Le Cessie，S. Lemeshow的论文，“ Logistic回归模型的拟合优度检验比较”，《医学统计》，第1卷。16，965-980（1997）。

阅读后，我感到困惑，因为我提到的问题明确要求“（概率）预测能力”，我认为这与上述论文的拟合优度检验旨在：

如我们大多数人所知，逻辑回归假设解释变量和成功概率之间呈S形联系，S形的函数形式为

$P(y=1|_{x_i})=\frac{1}{1+e^{-(\beta_0+\sum_i \beta_i x_i)}}$

在不假装Hosmer-Lemeshow检验没有缺点的情况下，我认为我们必须区分（a）“（概率）预测能力 ”和（b）“ 拟合优度 ”的检验。

前者的目标是检验概率是否得到了很好的预测，而拟合优度检验则检验了上面的S形函数是否为“正确”函数。更正式地：

1. “概率预测能力测试”的检验具有，表明模型很好地预测了成功概率；$H_0$
2. 而对于拟合优度测试，（参见Hosmer等人）认为上述S形功能形式是正确的。Hosmer等。进行仿真，在仿真中他们发现有能力检测到两种与零值的偏差，即链接函数错误或分母中的指数不是线性的。$H_0$

显然，如果上述函数具有“正确”的函数形式（因此，如果测试得出结论，我们可以接受作为拟合优度检验），则预测的概率将很好，...$H_0$

第一句话

...但是，接受的结论很微弱，如我们未能否定原假设时该怎么办？。$H_0$

第一个问题

我最重要的问题/评论是，如果拟合优度被拒绝，则测试的结论是功能形式不是“正确的”形式，但是，这暗示着概率是预测不好？$H_0$

第二个问题

此外，我想指出Hosmer等人的结论。al; （我从摘要中引用）：

``当正确的模型具有二次项但仅包含线性项的模型已拟合时，对测试性能的检查表明，皮尔逊卡方，未加权平方和，Hosmer-Lemeshow十分位数风险，平滑的残差平方和和Stukel得分测试，当样本量为100时，具有超过50％的功效来检测线性的适度偏离，对于大小为500的样本，这些相同替代品的功效为90％以上当正确的模型具有二分和连续协变量之间的相互作用，但只有连续协变量模型适合时，所有检验均无功效。对于大小为100的样本，检测到错误指定链接的能力很差。对于大小为500的样本，Stukel' s得分测试的功效最佳，但检测不对称链接功能的结果仅超过50％。未加权平方和检验用于检测指定不正确的链接函数的能力比Stukel的分数检验要小''

我可以由此得出结论，哪个测试具有更大的功效，或者说Hosmer–Lemeshow的功效更低（检测这些特定异常）？

第二句话

Hosmer等人的论文。等 我在上文中提到过，计算（模拟）检测特定异常的功率（仅在指定情况下才能计算功率）。我认为这并不意味着可以将这些结果推广到“所有可能的替代方案 ”？$H_1$$H_1$

有时在某种意义上使用“拟合优度”，这与明显的模型错误指定“缺乏拟合”相反。有时从另一种意义上讲，是模型的预测性能-预测与观测值的匹配程度。Hosmer-Lemeshow检验从第一方面讲是适合性的测试，尽管缺乏适合的证据表明预测性能（第二方面是GoF，由Nagelkerke的或Brier得分衡量），但您除非您尝试进行特定的改进，否则在如何进行改进或提高多少方面没有一个更明智的选择（通常通过包括交互作用项，或表示连续预测变量的样条或多项式基础以允许与logit形成曲线关系；有时通过更改链接）。$R^2$

拟合优度测试旨在针对各种替代方案具有合理的功效，而不是针对特定替代方案具有高功效；因此，人们比较不同测试的功效时，往往会采取务实的方法，选择一些潜在用户特别感兴趣的替代方法（例如，参见经常引用的Stephens（1974），“ EDF统计数据的拟合优度＆一些比较”，JASA，69，347）。您无法得出结论，对于所有可能的选择，一个测试比另一个测试更强大，因为它针对某些测试更强大。