我应该为每个社区运行单独的回归，还是社区可以简单地作为聚合模型中的控制变量？

我正在运行带有连续资产索引变量作为DV的OLS模型。我的数据来自三个相似的社区，彼此之间的地理位置非常接近。尽管如此，我认为使用社区作为控制变量很重要。事实证明，社区在1％的水平（-4.52的t评分）上具有重要意义。社区是3个不同社区中的1个的名义/类别变量，编码为1,2,3。

我的问题是，这种高度的意义是否意味着我应该对社区进行个别回归，而不是作为一个整体。否则，使用社区作为控制变量是否可以做到这一点？

该问题建议对三个相关模型进行比较。为了使比较清楚，让为因变量，让为当前社区代码，并将和分别定义为社区1和2的指示符。（这意味着为社区1和为社区2和3;社区2和为社区1和3）X ∈ { 1 ，2 ，3 } X 1 X 2 X 1 = 1 X 1 = 0 X 2 = 1 X 2 = $Y$$X \in \{1,2,3\}$$X_1$$X_2$$X_1=1$$X_1=0$$X_2=1$$X_2=0$

当前分析可能是以下之一：

$$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon\quad\text{(first model)}$$

要么

$$Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon\quad\text{(second model)}.$$

在这两种情况下，表示一组期望值为零的相同分布的独立随机变量。第二个模型可能是预期的模型，但第一个模型是将与问题中描述的编码相适应的模型。$\varepsilon$

OLS回归的输出是一组拟合参数（在其符号上用“帽子”表示）以及对误差的共同方差的估计。在第一个模型中，有一个t检验将与进行比较。在第二个模型中，有两个 t检验：一个将与进行比较，另一个将与进行比较。由于该问题仅报告一个t检验，因此让我们从检查第一个模型开始。 0 ^ β 1 0 ^ β 2$\hat{\beta}$$0$$\hat{\beta_1}$$0$$\hat{\beta_2}$$0$

得出结论与明显不同，对于任何社区，我们都可以估算 = =： 0ÿë[α+βX+ε]α+β$\hat{\beta}$$0$$Y$$\mathbb{E}[\alpha + \beta X + \varepsilon]$$\alpha + \beta X$

对于社区1，$X=1$，估计等于；$\alpha+\beta$

社区2，和估计等号α + 2 β ; 和$X=2$$\alpha+2\beta$

社区3，和估计等于α + 3 β。 $X=3$$\alpha+3\beta$

特别是，第一个模型强制社区效应处于算术级数中。如果社区编码仅是区分社区的任意方式，则此内置限制同样是任意的，并且可能是错误的。

对第二个模型的预测执行相同的详细分析是有启发性的：

社区1，其中和X 2 = 0，的预测值ÿ等于α + β 1。特别，$X_1=1$$X_2=0$$Y$$\alpha + \beta_1$

$$Y(\text{community 1}) = \alpha + \beta_1 + \varepsilon.$$

社区2，其中和X 2 = 1，的预测值ÿ等于α + β 2。特别，$X_1=0$$X_2=1$$Y$$\alpha+\beta_2$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha + \beta_2 + \varepsilon.$$

对于社区3，其中，则Y的预测值等于α。特别，$X_1=X_2=0$$Y$$\alpha$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha + \varepsilon.$$

这三个参数有效地使第二个模型具有完全的自由度，可以分别估计的三个期望值。$Y$ 的t检验评估（1）是否 ; 也就是说，社区1和社区3之间是否存在差异；和（2）β 2 = 0 ; 也就是说，是否有社区2和3。此外，一个可以测试“对比度”之间的差异β 2 - β 1与t检验，看看社区2和1是否有所不同：这个作品，因为它们的区别是（α + β 2）- （α $\beta_1=0$$\beta_2=0$$\beta_2-\beta_1$ = β 2 - β 1。$(\alpha + \beta_2) - (\alpha + \beta_1)$$\beta_2-\beta_1$

现在我们可以评估三个单独回归的影响。他们将是

$$Y(\text{community 1}) = \alpha_1 + \varepsilon_1,$$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha_2 + \varepsilon_2,$$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha_3 + \varepsilon_3.$$

这相较于第二个模型，我们可以看到，应该同意α + β 1，α 2应同意α + β 2和α 3应该同意α。因此，就拟合参数的灵活性而言，两个模型都同样出色。但是，此模型中有关误差项的假设较弱。所有的ε 1必须是独立同分布（iid）; 所有的ε 2必须是独立同分布的，并且所有的ε 3必须是独立同分布的，$\alpha_1$$\alpha+\beta_1$$\alpha_2$$\alpha+\beta_2$$\alpha_3$$\alpha$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$但是不假设有关各个回归之间的统计关系。 因此，单独的回归可以提供更大的灵活性：

• 最重要的是，分布可以从所述的不同ε 2可从所述的不同ε 3。$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$

• 在某些情况下，可以与相关联ε Ĵ。这些模型均未明确处理此问题，但是第三个模型（单独的回归）至少不会受到不利影响。$\varepsilon_i$$\varepsilon_j$

这种额外的灵活性意味着参数的t检验结果在第二个模型和第三个模型之间可能会有所不同。（不过，它不应导致不同的参数估计。）

要查看是否需要单独的回归，请执行以下操作：

拟合第二个模型。根据社区绘制残差图，例如，作为一组并排的箱形图或三个直方图，甚至三个概率图。寻找证据证明不同的分布形状，尤其是明显不同的方差。如果没有证据，则第二个模型应该可以。如果存在，则需要进行单独的回归。

当模型是多变量的（即，它们包括其他因素）时，可以进行类似的分析，得出类似（但更复杂）的结论。通常，执行单独的回归无异于包括与社区变量（在第二个模型中编码，而不是在第一个模型中编码）的所有可能的双向交互，并允许每个社区进行不同的错误分配。

• 可能会推荐型号选择（IMHO）。因为复杂的模型（斜率不同）将具有更大的损失，因此更加简洁和易于解释的模型将变得“更好”。