在Box-Cox转换后的数据中以原始单位表示答案

对于某些测量，分析结果会以转换后的比例适当显示。但是，在大多数情况下，最好以原始的度量标准显示结果（否则您的工作或多或少就毫无价值）。

例如，在对数转换的数据的情况下，由于记录值的均值不是均值的对数，因此会出现原始标度解释的问题。在对数刻度上取均值估计值的对数，而在原始刻度上不给出均值估计值。

但是，如果日志转换后的数据具有对称分布，则以下关系成立（因为日志保留顺序）：

（对数值的对数是原始测量范围的中位数）。

因此，我只能对原始度量标准上的中位数差异（或比率）做出推断。

如果总体大致正常且具有大约标准偏差，则两样本t检验和置信区间最为可靠，因此我们可能会倾向于将Box-Cox变换用作正态假设成立（我也认为这也是方差稳定变换）。

但是，如果将t工具应用于Box-Cox转换后的数据，则会推断出转换后的数据在方式上的差异。我们如何以原始的测量尺度来解释那些？（转换后的值的平均值不是转换后的平均值）。换句话说，在转换后的尺度上对均值的估计值进行逆转换，不会在原始尺度上给出均值的估计值。

在这种情况下，我还可以仅推断中位数吗？有没有可以让我回到原始状态的方法的转换？

这个问题最初是在这里发表评论的

如果要具体推断原始变量的均值，则不要使用Box-Cox转换。当转换后的变量有其自己的解释时，IMO Box-Cox转换最有用，而Box-Cox转换仅帮助您找到合适的标度进行分析-事实证明，这种情况经常令人惊讶。我发现这种方式的两个意外指数是1/3（当反应变量为膀胱容积时）和-1（当反应变量为每分钟呼吸次数时）。

对数转换可能是唯一的例外。对数刻度上的平均值对应于原始刻度上的几何平均值，至少是一个明确定义的数量。

如果Box-Cox转换产生对称分布，则将转换后的数据的平均值反转换为原始比例的中值。对于任何单调变换，包括Box-Cox变换，IHS变换等，都是如此。因此，对变换后数据的均值的推论与对原始标度中值的推论相对应。

由于原始数据存在偏差（或者您一开始就不会使用Box-Cox转换），所以为什么要对均值进行推断？我本以为在这种情况下使用中位数会更有意义。我不明白为什么这被视为“原始规模的解释问题”。

如果您想按原始比例进行均值推断，则可以考虑使用不使用正态性假设的推断。

但是要小心。如果两个样本的方差相等（如果转换后的方差相等，则转换后的量表上的方差相等），那么在两个样本方差不同的情况下，简单地说通过重新采样（置换测试或自举）对均值进行直接比较就可能是一个问题。如果手段不同，则按原始比例）。此类技术无法避免思考您正在做的事情。

考虑对估计还是预测比对测试更感兴趣的另一种方法是，使用变换后的变量的泰勒展开来计算回切后的近似均值和方差-在通常的泰勒展开中，您可以写，现在编写，其中是一个均值和方差的随机变量，您将要使用将其转换回去。吨[ μ + （Ý - μ ）] ý μ σ 2吨（$f(x+h)$$t[\mu + (Y-\mu)]$$Y$$\mu$$\sigma^2$$t()$

如果您抱有期望，那么第二项就会掉线，人们通常只会选择第一项和第三项（其中第三项代表的只是近似转换均值中的偏差）；此外，如果将展开的方差带到第二项，则第一项和第一个协方差项会丢失-因为是一个常数-因此您将获得关于差的单项近似。$t(\mu)$

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最简单的情况是对数标度具有正态性，因此原始标度具有对数正态性。如果您知道方差（最好很少发生），则可以按原始比例构造对数正态CI和PI，并可以根据相关量的分布平均值给出预测平均值。

如果你估计在数比例都均值和方差，你可以构建对数区间（预测区间的观测，说），但你原来的规模对数没有任何一个精彩瞬间。因此，预测的平均值不存在。Ť$t$$t$

您需要非常仔细地思考要尝试回答的问题。