纸牌游戏：如果我随机抽四张牌，而您抽六张，我最高的牌比最高的几率高？

如标题所述，假设我随机抽出4张牌，而您从同一副牌中抽出6张，那么我最高的牌击败您最高的牌的概率是多少？

如果我们从不同的甲板抽签，情况将如何变化？

谢谢！

probability maximum

— 五达瑙
source

这是家庭作业吗？

— 阿克萨卡（Aksakal）2015年

这个简单的问题有一个复杂的答案。并发症归因于两个因素：

卡被抽出而无需更换。（因此，每次抽奖都会更改可用于后续抽奖的牌组内容。）
副牌通常有多张各值的牌，并为获得最高牌而平局。

由于并发症是不可避免的，因此让我们解决这个问题的合理范围广泛的概括，然后再研究特殊情况。在一般情况下，“卡组”由有限数量的卡组成。卡具有不同的“值”，可以按从低到高的顺序排列。要有被排名的值的（与的最低和的最高）。一个玩家绘制从甲板卡和第二玩家抽 $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ 牌。第一位玩家手中排名最高的牌比第二位玩家手中最高排名的牌的价值严格大于多少？将此事件称为：第一个玩家的“胜利”。 $W$

解决这个问题的一种方法是从开始注意到该过程等同于从卡组中抽取张牌，将其中的第取为第一张玩家的牌，将其余的为第二张玩家的牌。在这些卡让是最高值，并让是该值的卡的数量。第一个玩家只有在持有所有张卡片时才获胜。的，其中这些特定卡可以中找到的路的数目卡是 $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ ，而在所有绘制的中将这张卡片定位的方式为 $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ 。 $\binom{a+b}{k}$

现在是最高值，并且有这样的牌的几率是从值的张牌中选择张，并从较低的选择剩余的的机会。值。因为有 $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ 卡的等概率抽奖，答案是 $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

（在此表达式中，并且任何二项式系数的最高值小于其最低值，或者其最低值为负）都为零。）这是一种相对有效的计算方法，其时间与卡在甲板上。因为它只涉及二项式系数，所以适合和大值的渐近近似。 $N_0=0$ $a$ $b$

$a$ $b$ $1$

$m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

$m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

R $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

在这种情况下的输出是

估计Pr（a获胜）= 0.3132 +/- 0.00464

— ub
source

好答案！我能问一下您是否认为每个球员都来自不同的牌组？这会改变答案吗？

— Wudanao

是的，它将改变答案，因为一个人的绘画将独立于另一人的绘画。在某些方面，这是一个更简单的问题，因为答案是对一个随机变量超过另一个独立变量的值的机会的简单计算。

— ub

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

@WernerCD是的，但是已经解释了这种效果：如果西装具有排名，则没有关系，因此公式可简化为limari的评论所描述的内容。

— Brilliand