考虑一个二次可微和对称分布。现在考虑第二个两次可微分布偏斜，其含义是： $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

其中 $\preceq_c$ 是van Zwet [0]的凸序，因此 $(1)$ 等效于：

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

现在考虑满足以下条件的第三个两次可微分布： $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

我的问题是：我们总能找到一个分配和对称分布重写任何中的一个组成方面（如上定义的所有三种）和为： $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

或不？

编辑：

例如，如果是形状参数为3.602349的Weibull（因此它是对称的），而是形状参数为3/2的Weibull分布（因此它是右偏），我懂了 $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

通过将为形状参数为2.324553的Weibull分布。请注意，所有三个分布均满足： $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ 根据需要。我不知道这总体上是正确的（在所述条件下）。

[0] van Zwet，WR（1979）。平均值，中位数，模式II（1979）。Statistica Neerlandica。第33卷，第1期，第1--5页。

distributions skewness

— 用户603
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没有！

Tukey分布提供了一个简单的反例（Tukey和分布的的特殊情况）。 $g$ $h=0$ $g$ $h$

例如，假设是参数的Tukey，而是参数的Tukey，而是Tukey分布的。由于，这三个分布满足： $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

（第一个来自Tukey的定义，如果则对称，则Tukey是对称的，第二个来自[0]，定理2.1（i））。 $g$ $g=0$

例如，对于，我们有： $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

（由于某种原因，最小值似乎总是接近）。 $g_Y\approx g_Z/2$

对于Weibull而言，该主张是正确的：

令为形状参数为的Weibull分布（scale参数不影响凸顺序，因此我们可以将其设置为1而不失一般性）。同样，以及和。 $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

首先请注意，任何三个威布尔分布始终可以按[0]的顺序排序。

接下来，请注意：

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

现在，对于威布尔犬：

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

以便

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

以来

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

因此，始终可以通过设置来满足要求。 $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet，WR（1979）。平均值，中位数，模式II（1979）。Statistica Neerlandica。第33卷，第1期，第1--5页。
[1] Groeneveld，RA（1985）。魏布尔家族的偏度。Statistica Neerlandica。第40卷第3期，第135-140页。

— 用户603
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我们是否可以始终根据任意分布和对称分布的组成来重写右偏分布？