GLM中规范链接函数的计算

我认为规范链接函数来自指数族的自然参数。说，考虑族则是规范的链接函数。以伯努利分布为例，我们有因此，规范链接函数 $g(\cdot)$

f (y, θ, ψ) = \exp {\frac{y θ - b (θ)}{a (ψ)} - c (y, ψ)}

$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$

θ = θ (μ)

$\theta=\theta(\mu)$

P (Y = y) = μ^{y} (1 - μ)^{1 - y} = \exp {y \log \frac{μ}{1 - μ} + \log (1 - μ)}

$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$

g (μ) = \log \frac{μ}{1 - μ}

$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$

但是，当我看到这张幻灯片时，它声称尽管可以很容易地针对此特定分布（以及其他一些分布，例如泊松分布）进行验证，我看不到一般情况的等效性。谁能给出提示？谢谢〜

g^{'} (μ) = \frac{1}{V (μ)}

$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$

generalized-linear-model link-function

— 紫苑
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Bernoulli变量的方差函数为。我们可以通过规范链接轻松地检查然后 $V(\mu) = \mu(1-\mu)$ $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

g^{'} (μ) = \frac{1}{μ} + \frac{1}{1 - μ} = \frac{1 - μ + μ}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{V (μ)} .

$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$

对于一般情况，可以从以下定义得出：请参见例如McCullagh和Nelder中的第28-29页。使用的规范链接，我们有，并且方差函数定义为，根据变为通过标识微分，我们得到

E (Y) = μ = b^{'} (θ) and Var (Y) = b^{″} (θ) a (ψ),

$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$

g

$g$

θ = g (μ) = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$

b^{″} (θ)

$b''(\theta)$

μ

$\mu$

V (μ) = b^{″} (g (μ)) .

$V(\mu) = b''(g(\mu)).$

θ = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(b'(\theta))$

1 = g^{'} (b^{'} (θ)) b^{″} (θ) = g^{'} (μ) V (μ),

$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$

在拟似然函数的构造中，自然的是从均值和方差之间的关系开始，以方差函数。在这种情况下，的反导数可以解释为链接函数的一般化，例如，请参见第325页上的（log）拟似然的定义（公式9.3 ）在McCullagh和Nelder中。 $V$ $V(\mu)^{-1}$

— NRH
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谢谢@NRH。实际上，我知道伯努利分布的等价性。我想知道一般情况。感谢您的参考，我将对其进行检查:)

— ziyuang 2011年

@ziyuang，现在包括一般情况。

— NRH

@NRH-只需添加此答案，就可以通过相对于（或等价在两侧微分方程来得出均值和方差公式）。一阶导数为您提供平均值，二阶为您提供方差。

\int f (y, θ, ψ) d y = 1

$\int f(y,\theta,\psi)dy=1$

θ

$\theta$

μ

$\mu$

— 概率

谢谢。而且我发现了另一个参考链接：fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/...

— ziyuang