在什么级别上，检验在数学上与比例的检验相同？

背景：请安全跳过-在此仅供参考，并将问题合法化。

本文开头为：

“卡尔·皮尔森（Karl Pearson）著名的卡方偶发性测验是基于正态分布，从另一个称为z统计量的统计量得出的。的最简单版本可以证明在数学上等同于等效z检验。在所有情况下，结果都是相同的。对于所有意图和目的，“卡方”都可以称为“ z平方”。一个自由度的的临界值是z的相应临界值的平方。$\chi^2$$\chi^2$

这已在CV中多次声明（此处，此处，此处及其他）。

而事实上，我们可以证明该相当于与：$\chi^2_{1\,df}$$X^2$$X\sim N(0,1)$

假设且并使用cdf方法求出的密度：$X \sim N(0,1)$$Y=X^2$$Y$$cdf$

$p(Y \leq y) = p(X^2 \leq y)= p(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y})$。问题是我们不能以正态分布的密度紧密结合。但是我们可以表达它：

$$F_X(y) = F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt[]{y}).$$ 取导数：

$$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}+ F_X'(\sqrt{-y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}.$$

由于普通pdf的值$pdf$是对称的：

$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{\sqrt{y}}$。这等同于$pdf$正常的（即现在的$x$在$pdf$将$\sqrt{y}$，以被插入到$e^{-\frac{x^2}{2}}$正常的一部分$pdf$）; 并记住最后要包含$\frac{1}{\sqrt{y}}$：

$$f_X(y)= F_X'(\sqrt[]{y})\,\frac{1}{\sqrt[]{y}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, \frac{1}{\sqrt[]{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, y^{\frac{1}{2}- 1}$$

与卡方的pdf相比：

$$f_X(x)= \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac{\nu}{2})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{\nu}{2}-1}$$

由于，对于 df，我们精确地得出了卡方的。 1个pd$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$$1$$pdf$

此外，如果我们prop.test()在R中调用该函数，我们将调用相同的测试，就像我们决定一样。$\chi^2$chisq.test()

问题：

所以我得到了所有这些要点，但是由于两个原因，我仍然不知道它们如何应用于这两个测试的实际实现：

1. Z检验不平方。

2. 实际的测试统计数据完全不同：

的test-statistic的$\chi^2$值为：

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = N \sum_{i=1}^n p_i \left(\frac{O_i/N - p_i}{p_i}\right)^2$ ，其中

$\chi^2$ =皮尔森的累积检验统计量，渐近地接近分布。 =类型的观测数； =观察总数； = =类型的预期（理论）频率，由零假设得出，即种群中类型的分数为 ； =表中的单元格数。ø 我我Ñ Ë 我 Ñ p 我我我p 我$\chi^2$$O_i$$i$$N$$E_i$$N p_i$$i$$i$$p_i$$n$

另一方面， -test 的测试统计量为：$z$

$\displaystyle Z = \frac{\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\sqrt{p\,(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}$其中，其中和是“成功”的数量，超过分类类别中每个级别的主题数变量，即和。$\displaystyle p = \frac{x_1\,+\,x_2}{n_1\,+\,n_2}$$x_1$$x_2$$n_1$$n_2$

该公式似乎依赖于二项式分布。

这两个测试统计显然是不同的，并导致不同的结果进行实际测试统计数据，以及作为p -值：5.8481对于和用于z测试，其中（谢谢@ mark999）。所述p为-值测试，而用于z测试。用两尾和一尾来解释的差异：（谢谢@amoeba）。$\chi^2$2.4183$\small 2.4183^2=5.84817$$\chi^2$0.015590.0077$\small 0.01559/2=0.007795$

那么，我们在多大程度上说它们是相同的呢？

让我们有一个2x2频率表，其中列是两组响应者，行是两个响应“是”和“否”。我们已经将频率转换为组内的比例，即转换为垂直轮廓：

      Gr1   Gr2  Total
Yes   p1    p2     p
No    q1    q2     q
      --------------
     100%  100%   100%
      n1    n2     N

在用比例代替公式中的频率代替后，此表的常用值（未校正Yates的）看起来像这样：$\chi^2$

$$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]= \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$$

请记住，，这两个配置文件和的加权平均配置文件的元素，并将其插入公式中，以获得$p= \frac{n_1p_1+n_2p_2}{n_1+n_2}$(p1,q1)(p2,q2)

$$...= \frac{(p_1-p_2)^2(n_1^2n_2+n_1n_2^2)}{pqN^2}$$

将分子和分母除以并得到（p 1 - p 2 ）$(n_1^2n_2+n_1n_2^2)$

$$\frac{(p_1-p_2)^2}{pq(1/n_1+1/n_2)}=Z^2,$$

“是”响应的比例z检验的平方z统计量。

因此，2x2同质性卡方统计量（和检验）等同于两个比例的z检验。在给定列中的卡方检验中计算的所谓期望频率是加权（按组n）平均垂直轮廓（即“平均组”的轮廓）乘以该组的频率n。因此，得出的结果是，卡方检验了两组平均轮廓与该平均轮廓之间的偏差，这等效于检验各组彼此之间的差异，这是比例的z检验。

这是变量关联度量（卡方）和组差异度量（z检验统计量）之间联系的一个例证。属性关联和组差异是（通常）同一事物的两个方面。

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（根据@Antoni的要求，在上面的第一行中显示扩展）：

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}] = \frac{n_1(p_1-p)^2q}{pq}+\frac{n_1(q_1-q)^2p}{pq}+\frac{n_2(p_2-p)^2q}{pq}+\frac{n_2(q_2-q)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(1-p_1-1+p)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(1-p_2-1+p)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(p-p_1)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(p-p_2)^2p}{pq} = \frac{[n_1(p_1-p)^2][(1-p)+p]+[n_2(p_2-p)^2][(1-p)+p]}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$