我的意大利儿子即将上小学的事实是否会改变预期在班上的意大利孩子人数？

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这是源于现实生活中的问题，对此我真的感到困惑。

我儿子将在伦敦上小学。由于我们是意大利人，所以我很想知道已经有多少意大利孩子上学了。我在申请时向招生官问了这个问题，她告诉我他们每班平均有2名意大利孩子（共30名）。

现在，我知道我的孩子已被接纳，但我没有其他孩子的其他信息。入学标准基于距离，但是出于这个问题的目的，我相信我们可以假设它基于大量申请人的随机分配。

我儿子的班级有望有多少意大利孩子？会接近2还是3？

probability self-study average

— 用户90213
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这使我想起了一个古老的笑话：“旅行时我总是携带炸弹，因为两个人在同一架飞机上炸弹的几率是多少？”

— 比尔蜥蜴

2

招生主任告诉您，每个班级平均有2个意大利孩子，这使我感到“怀疑”。如果它是根据实际计算得出的，那么您会期望得到一个非整数。因此，有可能真值是1.51或2.49。另外，由于招生官更有可能尝试用“请您”回答他们，他们可能会四舍五入，而不是四舍五入（如果他们确实认为您很高兴让您的孩子和其他意大利人同住），则表明值接近2的分布将是非对称的。以下答案可以改编。

— PatrickT

4

@PatrickT“模式”是有效的平均值类型。

— 伊恩·林罗斯

1

非常感谢你们的回应。我现在也发布了类似的问题，但是具有不同的框架（stats.stackexchange.com/questions/173969/…），这是由您的一些输入/答案触发的。

— user90213 2015年

1

@PatrickT我认为受教育程度较低的人会被1.5（“你怎么有个半个孩子？”）所迷惑，而不是对烦恼的统计书呆子感到讨厌。（假设更精确的数字实际上不是1.9或2.1。）

— Dan Neely

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与往常一样，您需要考虑一个概率模型，该模型描述学校如何在班级之间分配孩子。可能性：

学校注意所有班级的外国公民人数相同。
学校甚至试图确保每个班级的每个国籍代表大致相同。
学校根本不考虑国籍，只是随机分配或根据其他条件分配。

所有这些都是合理的。给定策略2，您的问题的答案是否定的。当他们使用策略3时，期望值将接近3，但会小一些。那是因为您的儿子占据了一个“位置”，而您随机获得意大利文的机会减少了。

当学校使用策略1时，期望值也会上升；多少取决于每个班级的外国公民人数。

不知道您的学校，就没有办法更完美地回答这个问题。如果您每年只有一堂课，并且入学条件如前所述，答案将与上述3个答案相同。

详细计算3：

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X是班上意大利儿童的人数。1来自已知的孩子，29是其余的孩子，并且2/30是根据学校的说法，一个未知的孩子是意大利人的可能性。B是二项分布。

$E(X|X\geq1)$

— 埃里克
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2

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

2

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

没错，谢谢Erik。我在上一条评论中的意思类似于您的电子邮件示例。如果我假设班上所有的意大利父母都会在这里发布问题，那么看到这个问题就像是最年长的意大利孩子正在联系。看来我们总体上同意+1。Wiki链接确实很有趣。

— 变形虫说恢复莫妮卡2015年

（+1）却为为什么说“如果您每年只有一堂课[...]”感到困惑。

— Scortchi-恢复莫妮卡

@Scortchi如果学校每年只有一堂课，那么它可以使用两种分别称为1和2的策略，因为今年被学校录取的每个孩子都将上同一堂课。

— Erik

13

$2/30$ $1/15$

假设我们知道30个孩子中有一个是意大利人，我们只需要计算剩余孩子的概率：

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

因此，知道您的孩子是意大利人后，该班级中的意大利孩子的预期人数将更改为大约2.933，这比2接近3。

— 托马斯·克莱伯格
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5

这是我关于如何解决此问题的想法：

$S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
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1

n + 1

$n+1$

是。有什么我想念的东西吗？

— 2015年

1

取决于您阅读问题的方式。假设班级正好有30个孩子。

— Scortchi-恢复莫妮卡

1

也许我误解了这个问题。我以为是在问一个已知的意大利孩子的加入如何改变期望。

— 2015年

1

关于可以限制班级人数这是一个很好的观点

— jld

1

$\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

（注意最后一步的总和下限的变化）

— jf328
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1

您能否详细说明有条件的期望？

— Antoni Parellada 2015年

3

您的答案不正确。正确的计算方法是1（已知的孩子）+ E（B（29，2/30）），结果为2.9333。二项分布的假设值得怀疑。

— Erik

我想指出的一件事是：a）您对条件期望的计算是错误的。但是b）更重要的是，从您的条件期望开始是不正确的。知道一个特定的孩子是意大利人会破坏双正态分布假设的可交换性。这与男孩女孩悖论（en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox）非常相似，无论您知道大孩子是女孩还是两个孩子中的一个是女孩，这都有所不同。

— Erik 2015年

从上面划掉注释a）。但是b）无论如何都是更严重的；）

— Erik

我同意。对于OP，分布不再是二项式（30，2/30），而是1+二项式（

— 29，2/

-3

不。您对即将发生的事件的了解不会改变学校的典型经历。

— 市场
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2

-1。这是不正确的，如此处其他答案和评论中详细解释的那样。

— 变形虫说恢复莫妮卡2015年

原谅我缺乏高级数学，但是是什么让这个绅士的孩子不成为“典型的2个”孩子之一？..这样我们最终接近

— Mart

参见stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— 变形虫说莫妮卡（

玛特：想像一下，我扔了一枚硬币十次，数了数。硬币或抛硬币的方式没什么奇怪的。我多次重复该实验，平均而言，十次投掷中我几乎能看到5个脑袋。您会看到这样的结果（总共进行了1000次抛掷，其中50.3％为正面抛掷，完全在公平的抛硬币程序的预期变化范围内；我们决定同意这一过程至少在实际上是公平的）。现在我再和您一起做一次实验，您会看到前4次掷骰都是头。完整的十次掷骰中，预期的头数是多少？5？更多？

— Glen_b 2015年

请注意，根据您先前的论点，前四个“可能是预期的五个中的四个”。但是，然后您会说接下来的六次掷球的机会少于50％（实际上，您说的是平均只有1/6的机会）。代币如何知道不常出现？

— Glen_b 2015年