在R中使用Monte Carlo模拟逼近积分

我如何使用MC模拟近似以下积分？

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} | x - y | d x d y

$\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} |x-y| \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y$

谢谢！

编辑（在某些情况下）：我试图学习如何使用仿真来逼近积分，并且遇到一些困难时可以做一些练习。

编辑2 + 3：我不知何故感到困惑，以为我需要将积分拆分为单独的部分。因此，我实际上发现了：

n <- 15000
x <- runif(n, min=-1, max=1)
y <- runif(n, min=-1, max=1)
mean(4*abs(x-y))

r self-study monte-carlo

— 我的名字
source

您在正确的轨道上！您给出的答案非常接近正确。您缺少一小部分。（提示：随机变量的pdf是什么？

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

— 主教

是0.5 所以我需要乘以两个2来得出：'mean（4 * abs（xy））'。我终于明白了吗？

— 我的名字，

（+1）是！:)您可能需要等待几个（8？）小时，但是您应该考虑返回并将修改内容放入答案中，以便其他用户（例如我）可以对其进行投票。欢迎光临本站！我希望看到你继续参加这里。干杯。：）

— 红衣主教

还有一点要补充：我发现最大值对于符号数学非常有用。如果我必须自己进行分析计算，那么我将遇到与@EpiGrad相同的问题。但是在最大程度上，您可以做到integrate(integrate(abs(x-y), y, -1, 1), x, -1, 1);并得到答案8/3。

— 卡尔

对于R感兴趣的人，尽管对Karl发布的最大值代码不太满意，但可以这样做integrate(Vectorize(function(y) integrate(function(x) abs(x-y), -1, 1)$value), -1, 1)并获得数值近似值。使用孵化器包adaptIntegrate(function(x) abs(x[1] - x[2]), c(-1, -1), c(1, 1))即可使用。这只是为积分的数值评估提供了一些思路，例如在测试模拟是否正确运行时可能会派上用场。

— NRH

仅作为参考，通常通过确定性正交而不是蒙特卡洛更有效地完成这样的低维积分。蒙特卡洛的尺寸大约为4到6。首先要从低维度学习它...

— 用户873
source

我想这就是为什么这个问题被标记为作业 :-)的原因。

— Whuber

您可以使用Tukhi在Excel中进行操作。

输入

=tukhi.average(abs(2*rand()-1 - (2*rand()-1)))

然后点击运行按钮。

— 基思·刘易斯
source