随机走动


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考虑以下条件下从0开始的整数随机游动:

  • 第一步是具有相等概率的正负1。

  • 以后的每一步都是:60%可能与上一步相同,40%可能相反

这会产生什么样的分布?

我知道非动量随机游走会产生正态分布。动量会改变方差,还是完全改变分布的性质?

我正在寻找一个通用的答案,所以在上面分别说60%和40%,我的意思是p1-p


其实,@Dilip,你需要一个马尔可夫链与有序对索引的状态一世一世+1个一世一世-1个iZ。过渡是(i,i+1)(i+1,i+1)(i,i1)(i1,i)的概率为p(i,i+1)(i+1,i)(i,i1)(i1,i2)的概率为1p
Whuber

请注意,步长在上形成马尔可夫链{-1个+1个},您碰巧(?!)在固定分布处启动了它。
主教

你想要限制(边际)分布小号ñ=一世=1个ñXñ其中Xñ{-1个+1个}是步行的步骤是什么?
主教

另一种方法可能是查看几何随机变量的总和,然后应用一些mar理论。问题是您必须定义某种停止时间,这可能很棘手。
shabbychef

Answers:


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为了立即得出结论,“动量”并未改变以下事实,即正态分布是随机游动分布的渐近近似,但方差从变为n p /1 - p 。在这种特殊情况下,可以通过相对基本的考虑得出。例如,对于有限状态空间马尔可夫链,很难将下面的参数推广到CLT,但是最大的问题实际上是方差的计算。对于特定的问题,它可以4np(1p)np/(1p)通过计算,希望下面的论点可以使读者相信这是正确的方差。

使用基数在注释提供了见解,随机游走被给定为 其中X ķ{ - 1 1 }X ķ的形成马尔可夫链转移概率矩阵 p 1 - p 1 - p p 对于渐近性考虑,当n 时,X 1的初始分布不起作用,因此让

Sn=k=1nXk
Xk{1,1}Xk
(p1p1pp).
nX1为了下面的论点, X 1 = 1,并且还假定 0 < p < 1。一种巧妙的技术是将马尔可夫链分解为独立的循环。让 σ 1表示第一时间,时间1之后,该马尔科夫链返回到1。也就是说,如果 X 2 = 1 σ 1 = 2,并且如果 X 2 = X 3 = - 1 X 4 = 1,然后 σ 1 = 4X1=10<p<1σ1X2=1σ1=2X2=X3=1X4=1σ1=4。一般而言,让表示 “日返回时间为1,并让τ = σ - σ - 1表示回流间时间(与σ 0 = 1)。有了这些定义,我们有了σiiτi=σiσi1σ0=1
  • 然后 š σ Ñ = X 1 + Ñ Σ= 1 ü Ui=k=σi1+1σiXk
    Sσn=X1+i=1nUi.
  • 由于取值- 1ķ = σ - 1 + 1 ... σ - 1X σ = 1它认为 ü = 2 - τ Xk1k=σi1+1,,σi1Xσi=1
    Ui=2τi.
  • 所述返回间时间,,对于一个Markov链是IID(正式由于强马尔可夫性)在这种情况下,平均È τ = 2和方差V τ = 2 pτiE(τi)=2。在下面说明了如何计算均值和方差。V(τi)=2p1p
  • 为独立同分布变量产量普通CLT该
    SσnasympN(0,2np1p).
  • 最后一点要注意,这需要信仰的小的飞跃,因为我漏下的细节,是,这产生该 小号Ñ asymp Ñ 0 ñ pσn=1+i=1nτi2n
    SnasympN(0,np1p).

为了计算的矩人们可能注意到,P τ 1 = 1 = p2P τ 1 = = 1 - p 2 p - 2。然后可以应用类似于在计算用于几何分布的矩时使用的技术。替代地,如果X是几何的,成功概率为1 pZ =τ1P(τ1=1)=pm2P(τ1=m)=(1p)2pm2X1p,然后 1 + X 1 - Ž 具有相同的分布, τ 1,并且它是容易计算的均值和方差为后者的代表性。Z=1(τ1=1)1+X(1Z)τ1


+1好。我只会写1 / √的渐近分布1/nSn

2

ρρ=2p1

True standard error of x¯p1psn,
where nx¯ is the position of the random walk after n steps, and s is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in n, 1x¯2. The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of nx¯ should be around np/(1p).

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather p should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)


Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the p=0 subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.
cardinal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be ρ=2p1, not 12p. correcting it...
shabbychef
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