随机走动

考虑以下条件下从0开始的整数随机游动：

第一步是具有相等概率的正负1。
以后的每一步都是：60％可能与上一步相同，40％可能相反

这会产生什么样的分布？

我知道非动量随机游走会产生正态分布。动量会改变方差，还是完全改变分布的性质？

我正在寻找一个通用的答案，所以在上面分别说60％和40％，我的意思是p和1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— 巴里卡特
source

其实，@Dilip，你需要一个马尔可夫链与有序对索引的状态

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ 和

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ ，

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$ 。过渡是

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ 和

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ 的概率为

p

$p$ 且

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$ 和

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$ 的概率为

1 - p

$1-p$ 。

— Whuber

请注意，步长在

上形成马尔可夫链

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$ ，您碰巧（？！）在固定分布处启动了它。

— 主教

你想要限制（边际）分布

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$ 其中

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$ 是步行的步骤是什么？

— 主教

另一种方法可能是查看几何随机变量的总和，然后应用一些mar理论。问题是您必须定义某种停止时间，这可能很棘手。

— shabbychef

Answers:

为了立即得出结论，“动量”并未改变以下事实，即正态分布是随机游动分布的渐近近似，但方差从变为。在这种特殊情况下，可以通过相对基本的考虑得出。例如，对于有限状态空间马尔可夫链，很难将下面的参数推广到CLT，但是最大的问题实际上是方差的计算。对于特定的问题，它可以 $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ 通过计算，希望下面的论点可以使读者相信这是正确的方差。

使用基数在注释提供了见解，随机游走被给定为其中和的形成马尔可夫链转移概率矩阵对于渐近性考虑，当时，的初始分布不起作用，因此让

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

为了下面的论点，

，并且还假定

。一种巧妙的技术是将马尔可夫链分解为独立的循环。让

表示第一时间，时间1之后，该马尔科夫链返回到1。也就是说，如果

则

，并且如果

和

，然后

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ 。一般而言，让

表示

“日返回时间为1，并让

表示回流间时间（与

）。有了这些定义，我们有了

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

与然后 $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
由于取值为和它认为 $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
所述返回间时间，，对于一个Markov链是IID（正式由于强马尔可夫性）在这种情况下，平均和方差 $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ 。在下面说明了如何计算均值和方差。 $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
为独立同分布变量产量普通CLT该 $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
最后一点要注意，这需要信仰的小的飞跃，因为我漏下的细节，是，这产生该 $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

为了计算的矩人们可能注意到，和，。然后可以应用类似于在计算用于几何分布的矩时使用的技术。替代地，如果是几何的，成功概率为且 $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ ，然后具有相同的分布，，并且它是容易计算的均值和方差为后者的代表性。 $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
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+1好。我只会写

渐近分布

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

$\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$ where

n \bar{x}

$n \bar{x}$ is the position of the random walk after

n

$n$ steps, and

s

$s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in

n

$n$ ,

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$ . The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of

n \bar{x}

$n \bar{x}$ should be around

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

— shabbychef
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Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the

p = 0

$p=0$ subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.

— cardinal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ not

1 - 2 p

$1 - 2p$ . correcting it...

— shabbychef