给定n个均匀分布的r.v，那么一个rv的PDF除以所有n个r.v的总和是多少？

10

我对以下类型的情况感兴趣：有n个连续的随机变量，这些变量的总和必须为1。那么任何一个这样的变量的PDF将是什么？因此，如果 $n=3$ ，那么我对的分布感兴趣 $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ ，其中 $X_1, X_2$ 和 $X_3$ 均均匀分布。平均，当然，在这个例子中， $1/3$ ，作为平均只有 $1/n$ ，虽然很容易R中模拟的分布，我不知道是什么的PDF或CDF实际方程式。

这种情况与Irwin-Hall分布（ https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution）有关。只有Irwin-Hall是n个均匀随机变量之和的分布，而我想将n个均匀rv之一除以所有n个变量之和的分布。谢谢。

uniform

— 用户名
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1

如果

n

$n$ 连续统一随机变量的总和为

1

$1$ ，则

n = 3

$n=3$ ，

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$ ，因此

的分布

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$ 与

的分布相同

X_{1}

$X_1$ ，对吗？

— Dilip Sarwate 2015年

1

我应该纠正自己：N个均匀分布的总和不等于1。我假设它们的均值在0到1之间，所以它们的总和可以是从0到N的任何值。通过所有N个统一变量的总和得出一组N个随机变量，它们的总和等于1，并且具有期望值1 / N。注意：我从第一句话中删除了“制服”一词。我正在寻找的分布不是均匀的，而是通过将N个均匀变量之一除以所有N个均匀变量的总和而得出的。我只是不确定如何。

— user3593717 2015年

在

呈指数分布的情况下，归一化变量的矢量具有Dirichlet分布。这本身可能很有趣，但是研究也可能为这种情况提供策略。

X_{i}

$X_i$

— 推测2015年

4

域中的断点使它有些混乱。一种简单而乏味的方法是建立最终结果。对于令 $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ 和那么 $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

断点处于1 1和2 $Y,$ 2和3和和为我发现完整的pdf是 $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

然后可以找到cdf为

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 ž^{2} - 9 ž + 1个}{6 ž^{2} （ 1个 - ž ）} ， & 如果 1个 / 3 \leq ž \leq 1个 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 ž - 1个}{6 ž^{2}} ， & 如果 1个 / 2 \leq ž \leq 1个 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— 索克利
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+1好。此外，您的密度精美同意与仿真。

— Glen_b-恢复莫妮卡2015年

2

令。我们可以发现的CDF 通过计算 $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ 然后我们区分并替换Irwin-Hall pdf，以获得所需的pdf：

\begin{aligned} P （ \frac{X_{1个}}{\sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世}} \leq Ť ） & = P （ X_{1个} \leq Ť \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世} ） \\ = P （ （ 1个 - Ť ） X_{1个} \leq Ť \sum_{一世 = 2}^{ñ} X_{一世} ） \\ = P （ X_{1个} \leq \frac{Ť}{1个 - Ť} ÿ ） \\ = \int_{0}^{1个} P （ X_{1个} \leq \frac{Ť}{1个 - Ť} ÿ ） d X_{1个} \\ = \int_{0}^{1个} （ 1个 - F_{ÿ} （ \frac{1个 - Ť}{Ť} X_{1个} ） ） d X_{1个} \\ = 1个 - \int_{0}^{1个} F_{ÿ} （ \frac{1个 - Ť}{Ť} X_{1个} ） d X_{1个} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

从这里开始，它有点混乱，但是您应该能够交换积分和求和，然后执行替换（例如，

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} （ \binom{n - 1个}{ķ} ） （ \frac{1个 - Ť}{Ť} X_{1个} - ķ ）^{ñ - 1个} X_{1个} d X_{1个} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

）来评估积分，并因此获得pdf的明确公式。

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— 布伦特·克比
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1

假设

“ N个均匀分布的总和不等于1。”

这是我开始的方式（不完整）：

考虑，令 $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$ 通过稍微滥用符号来。

考虑，和： $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = ü V ÿ = V

$X=UV\\ Y=V$

然后进行变量转换：

Ĵ = [\begin{matrix} V & ü \\ 0 & 1个 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

的联合概率函数由下式给出： $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

其中和 $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1个 \\ 0 & Ø Ť H Ë [R w 一世 s Ë \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

并且

F_{ÿ} （ ÿ ） = \frac{1个}{2 （ ñ - 1个 ） ！} \sum_{ķ = 0}^{ñ} （ - 1个 ）^{ķ} （ \binom{ñ}{ķ} ） （ X - ķ ）^{ñ - 1个} s 一世 G ñ （ X - ķ ）

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

因此，

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

和 $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— 权利扭曲
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0

假设我们已经知道的和具有欧文霍尔分布。现在，您的问题更改为找到的pdf（或CDF） $U(0,1)$ 当X有分布和具有欧文霍尔分布。 $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

首先，我们需要找到和联合pdf 。 $X$ $Y$

令 $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

然后

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

由于都与IID 因此， $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

与的联合分布为 $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

接下来让我们对积分，我们可以获得和的联合分布，即和的联合分布 $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

正如whuber建议的那样，我现在更改了限制

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

现在，我们知道联合pdf 即联合pdf 和为 $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ 。 $y_3-y_1-2$

接下来让我们找到的pdf $\frac{X}{Y}$

我们需要另一种转变：

令 $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

那么 $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

然后

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

我们已经从上面的步骤ref （1）联合得到的联合分布。 $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

接下来，我们将积分出来，得到的pdf，然后得到的pdf $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

$X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

$y_3$ 中（2）呢？

$Y_3=X_1+X_2+X_3$

$Y_3$ 具有Irwin-Hall分布。

$n=3$

— 深北
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2

模拟似乎与该pdf不一致。

— Glen_b-恢复莫妮卡

逻辑和步骤看似正确，但我对此解决方案感到不舒服。

— 2015年

2

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$