如何证明估计量是一致的？

是否足以证明当 MSE = 0 $n\rightarrow\infty$ ？我还在笔记中读到一些关于plim的信息。如何找到plim并使用它来表明估计量是一致的？

estimation convergence consistency

— 忍耐
source

编辑： 修复了小错误。

这是一种实现方法：

如果的估计量（概率称为）收敛于则它是一致的。使用符号 $\theta$ $T_n$ $\theta$

。 $\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$

数学上，概率收敛表示

对于所有。 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

显示概率/一致性收敛的最简单方法是调用切比雪夫不等式，该不等式指出：

。 $P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

从而，

。 $P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

因此，您需要证明随着，变为0 。 $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

编辑2：以上要求估计量至少在渐近无偏的情况下。如G.周杰伦克恩斯指出的，考虑所述估计（用于估计平均）。针对有限偏压既和渐近，和作为。但是， $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ 不是的一致估计。 $\mu$

编辑3：请参阅以下评论中的枢机主教观点。

@ G.JayKerns为此没有偏见。考虑

。

是标准偏差的有偏估计量，但是您可以使用上面的参数来表明它是一致的。

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

看起来不错（+1）；我将删除之前的评论。

@ G.JayKerns您的评论是必要的补充。我们必须始终确保我们了解我们所依据的假设。

@MikeWierzbicki：我认为我们需要非常小心，尤其是在渐近无偏的意义上。经常有至少两个不同的概念经常使用此名称，区分它们很重要。请注意，这是不正确的，一般是一致的估计是在这个意义上渐近无偏的是

即使平均

存在于所有

。许多人称收敛

无偏为极限或近似无偏

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$ ...（续）

— 主教

显然，为了使一致估计在极限被偏置，在收敛

必须失败因为

，其中

。

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— 主教