不同概率的伯努利试验成功

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如果进行20次独立的伯努利试验，则每个成功或失败的可能性均不同。20个试验中有n个成功的概率是多少？

是否有一种更好的方法来计算这些概率，而不是简单地将成功和失败概率的总和相加？

— 玛哈123
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您要查询的分布称为Poisson Binomial分布，具有相当复杂的pmf（有关详细说明，请参阅Wikipedia）

Pr (X = x) = \sum_{A \in F_{x}} \prod_{i \in A} p_{i} \prod_{j \in A^{c}} (1 - p_{j})

$\Pr(X=x) = \sum\limits_{A\in F_x} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)$

通常，问题是您不能在更多次试验中使用此方程式（通常在试验次数超过）。还有其他计算pmf的方法，例如递归公式，但是它们在数值上不稳定。解决这些问题的最简单方法是近似方法（例如，Hong，2013年描述）。如果我们定义 $n=30$

μ = \sum_{i = 1}^{n} p_{i}

$\mu = \sum_{i=1}^n p_i$

σ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} p_{i} (1 - p_{i})}

$\sigma = \sqrt{ \sum_{i=1}^n p_i(1-p_i) }$

γ = σ^{- 3} \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (1 - p_{i}) (1 - 2 p_{i})

$\gamma = \sigma^{-3} \sum_{i=1}^n p_i (1 - p_i) (1 - 2p_i)$

那么我们可以通过小数定律或Le Cams定理用泊松分布来近似pmf

Pr (X = x) \approx \frac{μ^{x} \exp (- μ)}{x!}

$\Pr(X = x) \approx \frac{\mu^x \exp(-\mu)}{x!}$

但它发现二项式逼近通常表现得更好（Choi和Xia，2002）

Pr (X = x) \approx B i n o m (n, \frac{μ}{n})

$\Pr(X = x) \approx \mathrm{Binom} \left( n, \frac{\mu}{n} \right)$

您可以使用正态近似

f (x) \approx ϕ (\frac{x + 0.5 - μ}{σ})

$f(x) \approx \phi \left( \frac{x + 0.5 - \mu}{ \sigma} \right)$

或cdf可以使用所谓的精细法线近似来近似（Volkova，1996）

F (x) \approx max (0, g (\frac{x + 0.5 - μ}{σ}))

$F(x) \approx \max\left(0, \ g \left( \frac{x + 0.5 - \mu}{ \sigma} \right) \right)$

其中。 $g(x) = \Phi(x) + \gamma(1-x^2) \frac{\phi(x)}{6}$

当然，另一种选择是蒙特卡洛模拟。

简单的dpbinomR函数将是

dpbinom <- function(x, prob, log = FALSE,
                    method = c("MC", "PA", "NA", "BA"),
                    nsim = 1e4) {

  stopifnot(all(prob >= 0 & prob <= 1))
  method <- match.arg(method)

  if (method == "PA") {
    # poisson
    dpois(x, sum(prob), log)
  } else if (method == "NA") {
    # normal
    dnorm(x, sum(prob), sqrt(sum(prob*(1-prob))), log)
  } else if (method == "BA") {
    # binomial
    dbinom(x, length(prob), mean(prob), log)
  } else {
    # monte carlo
    tmp <- table(colSums(replicate(nsim, rbinom(length(prob), 1, prob))))
    tmp <- tmp/sum(tmp)
    p <- as.numeric(tmp[as.character(x)])
    p[is.na(p)] <- 0

    if (log) log(p)
    else p 
  }
}

大多数方法（以及更多方法）也都在R poibin包中实现。

Chen LHY（1974）。关于泊松二项式到泊松分布的收敛性。概率年鉴，2（1），178-180。

Chen，SX and Liu，JS（1997）。泊松二项式和条件伯努利分布的统计应用。统计杂志875-892。

Chen SX（1993）。泊松二项式分布，条件伯努利分布和最大熵。技术报告。哈佛大学统计系。

Chen XH，Dempster，AP和Liu，JS（1994）。加权有限总体采样以最大化熵。Biometrika 81，457-469。

Wang YH（1993）。关于独立试验成功的次数。统计杂志3（2）：295-312。

Hong Y（2013）。在计算泊松二项式分布的分布函数时。计算统计与数据分析，59，41-51。

Volkova，AY（1996）。独立随机指标总和的中心极限定理的改进。概率论及其应用40，791-794。

Choi，KP和Xia，A.（2002）。估算独立试验中的成功次数：二项式与Poisson。应用概率年鉴，14（4），1139-1148。

Le Cam，L.（1960年）。泊松二项分布的一个近似定理。太平洋数学杂志10（4），1181-1197年。

— 蒂姆
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一种方法是使用生成函数。您的问题的解决方案是多项式中的系数 $x^n$

\prod_{i = 1}^{20} (p_{i} x + 1 - p_{i}) .

$\prod_{i=1}^{20}(p_ix + 1-p_i).$

这是动态编程的等效项（伯努利变量的二次时间），它根据蒂姆的答案在泊松二项式分布中求和（这是指数时间）。

— 尼尔·G
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