将离散随机变量减半？

让是一个离散随机变量采取它的值在Ñ。我想将该变量减半，即找到一个随机变量Y，例如：$X$$\mathbb{N}$$Y$

其中是一个独立的副本ÿ。$Y^*$$Y$

• 我指的是这个过程减半；这是一个虚构的术语。在文献中是否有合适的术语用于该手术？
• 在我看来，只有当我们接受负概率时，此类才会一直存在。我的观察正确吗？$Y$
• 有没有最好的概念正适合？又称随机变量，它是“最接近”求解上述方程式的变量。$Y$

谢谢！

与该属性（如果较弱）密切相关的概念是可分解性。可分解定律是一种概率分布，可以表示为两个（或多个）非平凡的独立随机变量之和的分布。（并且不能用这种方式来写不可分解的定律。“或更多”绝对是无关紧要的。）可分解性的充要条件是特征函数是乘积两个（或多个）特征函数中的一个。

我不知道您认为的属性是否在概率论中已经有名称，也许与无限可分性有关。这是更强属性，但包括此属性：所有无限可分的rv都满足此分解。$X$

该“一次除数”的必要和充分条件是特征函数也是特征函数。

在具有整数支持的分布的情况下，由于特征函数是的多项式，因此很少出现这种情况。例如，伯努利随机变量不可分解。$\exp\{it\}$

正如Wikipedia页面上关于可分解性的指出的那样，还存在绝对不可分解的连续分布，例如密度为

如果的特征函数是实值，则可以使用Polya定理：$X$

泊利亚定理。如果φ是满足条件的实值均匀连续函数

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

则φ是绝对连续对称分布的特征函数。

事实上，在这种情况下，再次实值。因此，使X可以被初整的充分条件是φ是根凸的。但是它仅适用于对称分布，因此比伯克纳定理的使用范围有限。$\varphi^{1/2}$$X$

在某些特殊情况下，这是成立的，但是对于 任意离散的随机变量，“减半”是不可能的。

• 两个独立的二项式随机变量的总和是一个二项式（2 n ，p ）随机变量，因此二项式（2 n ，p ）可以“减半”。 练习：找出二项式（2 n + 1 ，p ）随机变量是否可以“减半”。$(n,p)$$(2n,p)$$(2n,p)$
  $(2n+1,p)$

• $(2n,p)$随机变量可以“减半”。

• $(\lambda)$$(2\lambda)$$(\lambda)$$(\frac{\lambda}{2})$$(\lambda)$$n$$2^n$$\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

$\frac{1}{2}$

为了回答您的问题，

• $X$$X$

• $Y,Y^*$$X$ $\lambda$$Y$$Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$$X$

• 我还没有看到任何东西，也无法想象如何将这种最合适的形式正式化。通常，对随机变量的近似值是通过对随机变量空间的范数进行度量的。我不认为随机变量近似于非随机变量。

我希望我能帮上忙。