R中的glm函数使用哪种优化算法？

可以使用以下代码在R中执行logit回归：

> library(MASS)
> data(menarche)
> glm.out = glm(cbind(Menarche, Total-Menarche) ~ Age,
+                                              family=binomial(logit), data=menarche)
> coefficients(glm.out)
(Intercept)         Age 
 -21.226395    1.631968

看来优化算法已经收敛-存在有关费舍尔评分算法的步数的信息：

Call:
glm(formula = cbind(Menarche, Total - Menarche) ~ Age, family = binomial(logit), 
    data = menarche)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.0363  -0.9953  -0.4900   0.7780   1.3675  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -21.22639    0.77068  -27.54   <2e-16 ***
Age           1.63197    0.05895   27.68   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 3693.884  on 24  degrees of freedom
Residual deviance:   26.703  on 23  degrees of freedom
AIC: 114.76

Number of Fisher Scoring iterations: 4

我很好奇它是什么优化算法？是Newton-Raphson算法（二阶梯度下降）吗？我可以设置一些参数来使用柯西算法（一阶梯度下降）吗？

您可能会想知道glm通过访问的的文档?glm提供了许多有用的见解：在此之下，method我们发现迭代地加权最小二乘是的默认方法glm.fit，这是的主要功能glm。此外，文档中提到，此处可能提供用户定义的功能，而不是默认功能。

输出本身中提到了使用的方法：它是Fisher评分。在大多数情况下，这等效于牛顿-拉夫森。例外情况是您使用非自然参数设置。相对风险回归就是这种情况的一个例子。在那里，预期和观察到的信息是不同的。通常，Newton Raphson和Fisher Scoring给出几乎相同的结果。

$p$$p(1-p)$费舍尔得分。此外，它为EM算法提供了很好的直觉，这是一个用于估计复杂可能性的更通用的框架。

R中的默认通用优化器使用数值方法来估计第二矩，基本上基于线性化（请谨慎对待维数）。因此，如果您有兴趣比较效率和偏差，则可以使用类似

set.seed(1234)
x <- rnorm(1000)
y <- rbinom(1000, 1, exp(-2.3 + 0.1*x)/(1+exp(-2.3 + 0.1*x)))
f <- function(b) {
  p <- exp(b[1] + b[2]*x)/(1+exp(b[1] + b[2]*x))
  -sum(dbinom(y, 1, p, log=TRUE))
}
ans <- nlm(f, p=0:1, hessian=TRUE)

给我

> ans$estimate
[1] -2.2261225  0.1651472
> coef(glm(y~x, family=binomial))
(Intercept)           x 
 -2.2261215   0.1651474 

作为记录，R的glm算法的简单纯R实现基于费舍尔评分（迭代加权最小二乘法），如另一个答案所述，由下式给出：

glm_irls = function(X, y, weights=rep(1,nrow(X)), family=poisson(log), maxit=25, tol=1e-16) {
    if (!is(family, "family")) family = family()
    variance = family$variance
    linkinv = family$linkinv
    mu.eta = family$mu.eta
    etastart = NULL

    nobs = nrow(X)    # needed by the initialize expression below
    nvars = ncol(X)   # needed by the initialize expression below
    eval(family$initialize) # initializes n and fitted values mustart
    eta = family$linkfun(mustart) # we then initialize eta with this
    dev.resids = family$dev.resids
    dev = sum(dev.resids(y, linkinv(eta), weights))
    devold = 0
    beta_old = rep(1, nvars)

    for(j in 1:maxit)
    {
      mu = linkinv(eta) 
      varg = variance(mu)
      gprime = mu.eta(eta)
      z = eta + (y - mu) / gprime # potentially -offset if you would have an offset argument as well
      W = weights * as.vector(gprime^2 / varg)
      beta = solve(crossprod(X,W*X), crossprod(X,W*z), tol=2*.Machine$double.eps)
      eta = X %*% beta # potentially +offset if you would have an offset argument as well
      dev = sum(dev.resids(y, mu, weights))
      if (abs(dev - devold) / (0.1 + abs(dev)) < tol) break
      devold = dev
      beta_old = beta
    }
    list(coefficients=t(beta), iterations=j)
}

例：

## Dobson (1990) Page 93: Randomized Controlled Trial :
y <- counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
outcome <- gl(3,1,9)
treatment <- gl(3,3)
X <- model.matrix(counts ~ outcome + treatment)

coef(glm.fit(x=X, y=y, family = poisson(log))) 
  (Intercept)      outcome2      outcome3    treatment2    treatment3 
 3.044522e+00 -4.542553e-01 -2.929871e-01 -7.635479e-16 -9.532452e-16

coef(glm_irls(X=X, y=y, family=poisson(log)))
     (Intercept)   outcome2   outcome3    treatment2   treatment3
[1,]    3.044522 -0.4542553 -0.2929871 -3.151689e-16 -8.24099e-16

对GLM拟合算法进行了很好的讨论，包括与Newton-Raphson（使用观察到的Hessian，而不是IRLS算法中预期的Hessian）进行比较，以及混合算法（以IRLS开头，因为它们更易于初始化，但随后可以使用James W. Hardin和Joseph M. Hilbe撰写的“广义线性模型和扩展”一书中找到使用Newton-Raphson进行进一步优化的方法 。