证明/否定

证明/否定 $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

给定已过滤的概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ ，令 $A \in \mathscr{F}$ 。

假设

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$ 是否遵循

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$ 什么

\forall s < t

$\forall s < t$ ？

而是

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$ 或者，如果

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

我试过的

如果 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ ，则 $\Bbb E[1_A]=1$ ，这与 $1_A=1$ （几乎可以肯定）相同。在这种情况下，每个 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ （几乎可以肯定）。 $s$

同样，如果 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ ，则 $\Bbb E[1_A]=0$ ，这与 $1_A=0$ （几乎可以肯定）相同。在这种情况下，每个 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ （几乎可以肯定）。 $s$

如果 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ ，对于常数 $p\in(0,1)$ ，则

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ 。如果这可能会失败 $s>t$ 。

对于 $= p$ 情况，也可以选择：

令 $F$ 为有界 $\mathscr F_t$ 可测量的随机变量。

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

表示和是独立的。换句话说，和是独立的。因此，如果，则和也独立，因此。如果这可能会失败。 $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

我想这个想法是常量既与和 -measurable无关 $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ 。

— BCLC
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您的论点似乎是有效的，但您首先假设。但是，问题表明，我要说的是随机变量采用集合即其中。对于所有，此条件期望的定义属性是。特别地，取导致，从中我们可以得出 $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ （除非可能是概率为零的集合）。但是，我们也知道（如您所写的论点），即，因此唯一可能的结论是（可能的概率为零的集合除外）。 $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

对于，，因此条件期望的塔定律意味着。但是，因此。因此，对于所有条件期望都等于（等于）。对于，如果那么我们仍然会有。另一方面，如果我们回到不在，那么我认为 $s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ 。有关具体示例，请参见本文的图1。以为例，给出了条件期望的序列，，，。 $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall恢复莫妮卡
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谢谢S. Catterall。你怎么知道1？2吗？也要编辑问题。任何不便敬请谅解。我将用一些你的洞察力为编辑

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— BCLC

让我尝试用自然语言总结一下；过滤对应于结果空间的细分，并且对事件的条件期望以及过滤的后续元素（“随着更多信息可用”）在事件周围（在信息的初始状态只是均匀分布）。停止时间是过程的随机级别设置表面（在本文中，结果变量为二进制，并且选择值为）。

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— ocramz

@ocramz和S. Catterall，完成编辑。请问如何？^-^

— BCLC 2015年

在此图中，如果我们正在测量事件，但是示例过程最终以不属于的配置结束，则实际上变得“不可知”（度量）。这个描述正确吗？而且，条件期望在连续时间的表现方式使我想起了贝叶斯的迭代过程，这些概念之间是否有联系？@S。Catterall

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

— ocramz

在回答您的第一条评论中的问题时：如果则由于是和的不相交的并集，我们必须具有，这意味着为Now，以同样的方式，我们可以使用得出中的为

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$

— S.Catterall恢复Monica 2015年