为什么正交投影的投影矩阵是对称的？

我对此很陌生，所以如果问题很幼稚，希望您能原谅我。（上下文：我正在从Davidson和MacKinnon的书《计量经济学的理论与方法》中学习计量经济学，他们似乎并没有对此进行解释；我还看了Luenberger的优化书，该书以更高的水平处理了预测，但是没有运气）。

假设我有一个正交投影与相关联的投影矩阵。我有兴趣将每个向量投影到某个子空间。$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

问题：为什么遵循，即是对称的？我可以从哪本教科书看这个结果？T$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

这是正交投影上线性代数的基本结果。相对简单的方法如下。如果是跨越一个正交向量米维子空间甲，和ü是Ñ × p矩阵与ü 我的作为列，则 P = û û Ť。 这直接源于以下事实，即x可以根据A的正交基来计算x在A上的正交投影： $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ 直接它遵循从以上公式P2=P和PŤ=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

也可以给出不同的论点。如果是正交投影的投影矩阵，然后，根据定义，所有的X ，ÿ ∈ [R Ñ P X ⊥ ý - P ÿ 。 因此，0 = （P x ）T（y - P y ）= x T P T（I - P）y = x T（P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
对所有 X ，ÿ ∈ [R Ñ。由此可见， P Ť = P Ť P，从那里 P = （P Ť ）Ť = （P Ť P ）Ť = P Ť P = P Ť $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

尝试几何直觉...回想一下：

1. 对称矩阵是自伴的。
2. 标量积仅由互线性空间中的分量确定（并且独立于任何向量的正交分量）。

您要“看到”的是，投影是自伴的，因此是对称的-遵循（1）。为什么会这样呢？考虑向量的标量积$x$ 与投影 $A$ 第二个向量 $y$： $\langle x,Ay \rangle$。根据（2），乘积将仅取决于$x$ 在投影的范围内 $y$。因此产品应与$\langle Ax,Ay \rangle$，并且 $\langle Ax,y\rangle$ 遵循相同的论点。

以来 $A$ 是自伴的-是对称的。