高斯过程的导数

我相信高斯过程（GP）的导数是另一个GP，因此我想知道GP的导数的预测方程式是否存在闭式方程式？特别是，我正在使用平方指数（也称为高斯）协方差核，想了解有关对高斯过程的导数进行预测的信息。

stochastic-processes gaussian-process derivative

GP的衍生词是什么意思？您是否会根据BP随机生成一条曲线，然后取导数？

x (t)

$x(t)$

— Placidia 2015年

@Placidia，不是我的意思是计算，我认为这应该是另一个高斯过程

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

好问题。但是，我似乎记得布朗运动既是GP，又无可区别。所以我不确定是否会有一个通用表达式。当然，x（t）-x（th）应该是高斯函数，因此，给定协方差函数可以考虑给定h的概率。

— 推测2015年

@conjectures，这就是为什么我专门说我有一个GP，其中内核函数是平方指数（因为我知道一个函数是无限可微的），并且实际上只是在我的示例中寻找导数情况。但是好点还是！

Answers:

简短的答案：是的，如果您的高斯过程（GP）是可微的，则其导数又是GP。可以像处理任何其他GP一样处理它，并且可以计算预测分布。

但是，由于GP及其派生密切相关，因此您可以从另一个推论两者的性质。 $G$ $G'$

存在 $G'$

如果存在则具有协方差函数零均值GP 是可微的（均方）。在那种情况下，的协方差函数等于。如果过程不是零均值，则均值函数也必须是可微的。在这种情况下，的均值函数是的均值函数的导数。 $K$ $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

（有关更多详细信息，请检查A. Papoulis的附录10A“概率，随机变量和随机过程”）

由于高斯指数核是任意阶的，因此对您来说这没有问题。

预测分布 $G'$

如果您只想以观测为条件，这将很简单：如果您可以计算出各自的导数，您就会知道均值和协方差函数，以便您可以像对其他GP一样进行推论。 $G'$

但你也可以得到与预测分布的基础上观察。为此，您可以按照标准方式计算的后验，然后将1.应用于后验过程的协方差和均值函数。 $G'$ $G$ $G$

反之亦然，即以观测条件为条件来推断的后验。在那种情况下，的协方差函数由的积分给出，可能很难计算，但逻辑实际上是相同的。 $G'$ $G$ $G$ $K'$

— gg
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我不懂你的问题。上面给出了协方差函数和均值函数的显式公式（在Rasmussen / Williams的9.4中）。既然了解和使用GP就是全部，那么您还需要什么？

— gg

具有这种协方差的过程是不可区分的。如答案的第1节所述，内核函数必须在两个条目之间都是可微的。增量函数既不可微，也不可连续。因此，甚至不存在。

G^{'}

$G'$

— gg

您是否可能混淆均值函数和过程路径？请注意，均值函数比路径平滑，即使过程没有差异，也可能是可微的。但是均值函数是确定性函数，而不是过程，因此没有可以计算的方差。

— gg

它是。参见拉斯穆森和威廉姆斯9.4节。另外，一些作者强烈反对平方指数的狗窝-它太光滑了。

— 耶尔·道恩
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那么导数有预测分布吗？