t分布的尾部比正态分布重

10

在我的演讲笔记中说

T型分布看起来很正常，但尾巴稍重。

我了解为什么它看起来很正常（因为中心极限定理）。但是我很难理解如何在数学上证明它的尾部比正态分布更重，以及是否有办法测量它比正态分布更重。

normal-distribution t-distribution heavy-tailed

— hmi2015
source

12

首先要做的是形式化“重尾巴”的含义。在将两个分布标准化为具有相同的位置和比例（例如标准偏差）后，可以从概念上看待极端尾部的密度：

（通过此答案，这也与您的问题有些相关）

[对于这种情况，扩展最终并没有多大关系；即使您使用非常不同的音阶，t仍将比正常“重”；正常总是最终会降低]

但是，该定义-尽管可以进行特定的比较，但不能很好地泛化。

更笼统地说，这里的答案更好的定义。因此，如果比重尾，则随着变得足够大（对于所有一些），则，其中，其中是cdf（对于重） -在右侧；在另一侧有相似的，明显的定义）。 $Y$ $X$ $t$ $t>$ $t_0$ $S_Y(t)>S_X(t)$ $S=1-F$ $F$

这里是对数尺度和法线的分位数尺度，这使我们可以看到更多细节：

因此，较重拖尾的“证明”将包括比较cdfs并显示t-cdf的上尾最终总是位于法线的上方，而t-cdf的下尾最终始终位于法线的下方。

在这种情况下，最简单的方法是比较密度，然后证明cdfs（/幸存者功能）的相对位置必须遵循此相对位置。

因此，例如，如果您可以争论（在给定的） $\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

对于必要的常数（的函数），对于所有一些，则也有可能在定义上以更大的（或更大的为建立较重的尾部。左尾巴）。 $k$ $\nu$ $x>$ $x_0$ $t_\nu$ $1-F$ $F$

$^\dagger$ （如果密度对数之间保持必要的关系，则此形式源自密度对数的差）

[实际上可以针对任何显示它（不仅是我们需要的特定密度相关常数归一化），因此结果必须满足我们所需要的。] $k$ $k$

— Glen_b-恢复莫妮卡
source

1

带有（可能还会扩展一点）可能更清楚地显示出较重的尾巴，并且还可以使用更高的自由度，

\log S (x)

$\log S(x)$

x

$x$

— Henry

1

@Henry我生成了这样的图，但是不确定它增加了多少价值，所以我没有包括它。我会考虑把它英寸

— Glen_b -Reinstate莫妮卡

1

@亨利，我包括了情节。

— Glen_b-恢复莫妮卡2015年

2

$E\{x^n\}.$

当方差相同时，“较重”的尾部将表示偶数功率矩（功率4、6、8）的较高值。特别地，四阶矩（大约为零）被称为峰度，并且在某种意义上比较了尾巴的沉重度。

有关详细信息，请参见Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis）

— 达契安·邦塔（Dacian Bonta）
source

1

t

$t$

3

$3$

4

$4$

2

$2$

1

$1$

4

$4$

3

t (ν)

$t(\nu)$

+ \infty

$+\infty$

x^{- ν}

$x^{-\nu}$

ν

$\nu$

ν

$\nu$

t

$t$

ν

$\nu$

2

这是基于生存函数的形式证明。我使用以下受维基百科启发的“较重尾巴”的定义：

$Y$ $S_y(t)$ $X$ $S_x(t)$

lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} = \infty

$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$

考虑一个随机变量分布为学生t，均值为零，自由度和比例参数。我们将此与随机变量。对于这两个变量，生存函数是可微的。因此， $Y$ $\nu$ $a$ $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\begin{aligned} lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} & = lim_{t \to \infty} \frac{f_{y} (t)}{f_{x} (t)} = \exp lim_{t \to \infty} (\log f_{y} (t) - \log f_{x} (t)) \\ = \exp lim_{t \to \infty} (- \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) - (- \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2}) + C) \\ = \exp (lim_{t \to \infty} - \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) - (- \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2}) + C) \\ = \exp (lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2} - \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) + C) \\ = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} \frac{a^{2}}{σ^{2}} u - (ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν}) + C) \\ = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} u (\frac{a^{2}}{σ^{2}} - \frac{(ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν})}{u} + \frac{C}{u})) \end{aligned}

$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$ 在我们替换。请注意，是常数，且因此，根据代数极限定理，

u = t^{2} / a^{2}

$u=t^2/a^2$

0 < a^{2} / σ^{2} < \infty

$0<a^2/\sigma^2<\infty$

lim_{u \to \infty} C / u = 0

$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$

lim_{u \to \infty} \frac{(ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν})}{u} = lim_{u \to \infty} \frac{(ν + 1)}{(1) (1 + \frac{u}{ν}) (ν)} = 0

$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$

lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} u (\frac{a^{2}}{σ^{2}} - (0) + (0))) = \infty

$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$

重要的是，结果适用于，和任意（有限）值，因此您可能会遇到这样的情况，即分布处的方差小于正态，但尾部仍然较重。 $a$ $\sigma^2$ $\nu$

— 威尔·汤斯
source

1

请注意，这种“定义”较重的尾巴并不总是可以接受的。例如，按照这个定义，N（0,1）分布的尾部比.9999 * U（-1,1）+ .0001 * U（-1000，1000）分布更重，即使后者分布产生尽管有有限的支持，但偶尔的值与平均值之间的差值最多为175个标准差。当然，N（0,1）也会产生这样的值，但是其概率远低于可以认为与实际目的相关的概率。

— Peter Westfall