Goodman-Kruskal伽玛和Kendall tau或Spearman rho相关性如何比较？

在我的工作中，我们正在比较某些数据集的预测排名与真实排名。直到最近，我们一直单独使用Kendall-Tau。一个从事类似项目的小组建议我们尝试改用Goodman-Kruskal Gamma，他们更喜欢它。我想知道不同等级相关算法之间的区别是什么。

我找到的最好的答案就是该答案，它声称使用Spearman代替了通常的线性相关，并且Kendall-Tau不太直接，更类似于Goodman-Kruskal Gamma。我正在使用的数据似乎没有任何明显的线性相关性，并且数据严重偏斜且非正态。

而且，对于我们的数据，Spearman通常报告的关联性高于Kendall-Tau，我想知道关于数据的具体含义。我不是统计学家，所以抱歉，我正在阅读的某些论文对我而言像是行话。

Spearman Rho对Kendall tau。两者在计算上有很大差异，您无法直接比较它们的大小。Spearman通常会高出1/4到1/3，这使人错误地得出结论：Spearman对于特定数据集“更好”。rho和tau之间的区别在于意识形态，rho 的差异比例和tau的概率。Rho是用于排序数据的常用Pearson r，并且像r一样，对大弯矩（即距云中心的偏离）的点比对小弯矩的点更敏感。因此，Rho对排名后的云的形状非常敏感完成：椭圆形菱形云的系数将高于椭圆形哑铃云的系数（因为前者的尖锐边缘是较大的力矩）。Tau是Gamma的扩展，对所有数据点都同样敏感，因此对排名云形状的特殊性不太敏感。Tau比rho更“一般”，因为rho仅在您相信变量之间的基础（模型或人口函数）关系严格单调时才被保证。尽管Tau允许非单调的潜在曲线，并且可以衡量总体上哪个单调的“趋势”（正的或负的）普遍存在。Rho的大小可与r相媲美；头不是。

Kendall tau饰演Gamma。Tau只是Gamma的标准形式。几个相关的度量都有分子但是归一化分母不同：$P-Q$

• 伽马：$P+Q$
• Somers的D（“ x依赖”）：$P+Q+T_x$
• Somers的D（“取决于y”）：$P+Q+T_y$
• Somers'D（“ symmetric”）：以上两个的算术平均值
• 肯德尔的Tau-b corr。（最适合方桌）：这两个的几何平均值
• 肯德尔的Tau-c corr。（最适合矩形桌）：$N^2(k-1)/(2k)$
• 肯德尔的Tau-a corr。（对领带进行n®调整）：$N(N-1)/2 = P+Q+T_x+T_y+T_{xy}$

其中具有“一致性”的观测对数，Q-具有“反演” 的观测对；T x-变量X的联系数量，T y-变量Y的收入，T x y-两个变量的联系；N-观察数，k-该变量中不重复值的数目，此数目较小。$P$$Q$$T_x$$T_y$$T_{xy}$$N$$k$

因此，tau的理论和强度可直接与Gamma媲美。Rho在理论上和强度上与Pearson 直接可比。尼克·斯汤纳（Nick Stauner）的一个很好的答案告诉我们如何间接比较rho和tau。$r$

另请参见有关tau和rho。

这是安德鲁·吉尔潘（Andrew Gilpin，1993）的一句话，它出于理论上的原因而主张莫里斯·肯德尔（Maurice Kendall）的优于斯皮尔曼的ρ：$τ$$ρ$

随着样本大小N的增加，[肯德尔的 ]比ρ更快地接近正态分布。并且τ在数学上也更易于处理，尤其是在存在联系的情况下。 $τ$$ρ$$N$$τ$

我不能多增加约古德曼-克鲁斯卡尔，比它似乎产生不断所谓稍微大一点的估计比Kendall的其他τ调查数据的样本我最近一直工作在...，当然，显着比Spearman的ρ低。但是，我还尝试计算了几个局部γ估计（Foraita＆Sobotka，2012年），得出的结果比局部τ更接近局部ρ ...虽然花费了相当多的处理时间，所以我将离开模拟测试或与其他人的数学比较...（谁会知道如何做...）$γ$$τ$$ρ$$γ$$ρ$$τ$

正如ttnphns所暗示的那样，仅凭幅度而言，您不能得出估计值优于τ估计值的结论，因为它们的标度不同（即使限制没有差别）。Gilpin引用肯德尔（Kendall，1962）的描述，在大多数值范围内，ρ与τ之比约为1.5。随着幅度的增加，它们逐渐接近，因此，当两者都接近1（或-1）时，差异就变得很小。吉尔平给出了一个漂亮的大表，等效于ρ，r，r 2，d和Z r到τ的第三位数$ρ$$τ$$ρ$$τ$$ρ$$r$$r^2$$Z_r$$τ$在其范围内以.01的每一个增量递增，就像您希望看到Intro Stats教科书的封面一样。他根据Kendall的特定公式，这是那些价值如下： （我从吉尔平（Pillson'sr）的形式简化了ρ的这个公式）

$$\begin{aligned} r &= \sin\bigg(\tau\cdot\frac \pi 2 \bigg) \\ \rho &= \frac 6 \pi \bigg(\tau\cdot\arcsin \bigg(\frac{\sin(\tau\cdot\frac \pi 2)} 2 \bigg)\bigg) \end{aligned}$$ $ρ$$r$

将您的转换为$τ$$ρ$并查看计算变化如何影响您的效应量估计值也许是有意义的。似乎可以通过比较来表明Spearman的对您的数据更敏感的问题（如果有的话）的程度。当然，可以使用更直接的方法来分别识别每个特定问题。我的建议将为这些问题产生更多的快速而综合的效果。如果没有差异（在校正了尺度差异之后），则有人可能会认为没有必要进一步寻找仅适用于$ρ$$ρ$。如果存在实质性差异，那么可能是时候打破放大镜来确定是什么原因了。

我不确定人们在使用Kendall的时通常如何报告效果大小（不幸的是，人们通常担心报告效果大小），但是由于不熟悉的读者似乎会尝试按照Pearson's的尺度来解释效果大小[R ，它可能是明智的，同时报告你的τ统计和规模其作用大小[R出规模不同，与通过上述转换公式......或至少点，并给予喊出来吉尔平对他方便的转换表。$τ$$r$$τ$$r$

参考文献

Foraita，R.和Sobotka，F.（2012年）。图形模型的验证。 gmvalid软件包，v1.23。 全面的R存档网络。网址：http：//cran.r-project.org/web/packages/gmvalid/gmvalid.pdf

吉尔平，AR（1993）。在荟萃分析的效果量度范围内将肯德尔的Tau转换为Spearman的Rho的表格。 教育与心理测量，53（1），87-92。

肯德尔（MG）（1962）。 等级相关方法（第3版）。伦敦：格里芬。

这些都是单调关联的良好指标。Spearman的与观察的随机三元组中多数一致的概率有关，而τ（Kendall）和γ（Goodman-Kruskal）与成对一致有关。主要的决定，使在选择γ与τ是你是否想惩罚为纽带X和/或ÿ。 γ都不会对两者产生不利影响，因此比较X 1和X 2预测Y的预测能力不会奖励$\rho$$\tau$$\gamma$$\gamma$$\tau$$X$$Y$$\gamma$$X_{1}$$X_{2}$$Y$$X$表示更连续。缺乏奖励使得它与基于模型的似然比测试有点不一致。紧密联系在一起的（例如二进制X）可以具有较高的γ。$X$$X$$\gamma$