随机游走的自相关是什么？

好像真的很高，但这对我来说是违反直觉的。有人可以解释一下吗？我对此问题感到非常困惑，不胜感激。在此先多谢！

（我将其写为对另一篇文章的回答，当我撰写该文章时，它被标记为与该文章的副本；我以为我会将其张贴在这里，而不是将其丢弃。它看起来和胡伯的观点非常相似。答案，但又完全不同，有人可能会从中得到一些东西。）

随机游走的形式为$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

请注意，$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

因此。$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

另外请注意$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

因此。$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

就是说，您应该看到几乎为1的相关性，因为一旦开始变大，和几乎是同一件事-它们之间的相对差异往往很小。y t y t − $t$$y_t$$y_{t-1}$

通过绘制与可以很容易地看到这一点。y t − $y_t$$y_{t-1}$

现在，我们可以直观地看到它了-想象下降到（就像我们在模拟带有标准正态噪声项的随机游走时看到的那样）。则将非常接近；可能是，也可能是但几乎可以肯定在的几个单位之内。因此，随着序列的上下波动， vs几乎总是停留在线的相当窄的范围内...但是随着增长，点将覆盖得更大，沿更大的延伸$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$线（沿线的传播随着增长而增加，但垂直传播保持大致恒定）；相关性必须接近1。$\sqrt{t}$

在上一个问题的上下文中，“随机游走”是二项式随机游走的一种实现 。自相关是向量（x 0，x 1，… ，x n − 1）与下一个元素的向量（x 1，x 2，… ，x n$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$。

二项式随机游走的结构非常复杂，导致每个与每个x i相差一个常数。$x_{i+1}$$x_i$ 行走了一段时间后，的值将偏离初始值x 0，因此通常会覆盖一个良好的范围，通常与√成正比$x_i$$x_0$长度为 n。因此，（xi，x i + 1）对的lag-1散点图将由仅位于y=x±1线上的点组成，平均而言，它们接近y=x线。残差将接近±1。因此，在绝大多数实现中，残差的方差（约1）与值的方差（大约为（$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$）将很小。我们期望R2大约为$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

这是一张随机行走中步的图片（左侧）及其lag-1散点图（右侧）。使用颜色编码可以帮助您在两个图中找到相应的点。注意，在这种情况下，R 2实际上非常接近于1 − 4 / n。$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

这是R产生图像的代码。

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))