在原假设下，确定系数期望值

我对本文第一页底部关于调整的声明感到好奇 $R^2_\mathrm{adjusted}$

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

文本指出：

调整的逻辑如下：在普通多元回归中，随机预测变量平均解释响应变化的比例 $1/(n – 1)$ ，因此 $m$ 随机预测变量平均一起解释 $m/(n – 1)$ 响应的变化；换句话说，的期望值 $R^2$ 为 $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ 。将[ $R^2_\mathrm{adjusted}$ ]公式应用于该值（所有预测变量都是随机的），得出 $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$ 。”

对于这似乎是一个非常简单且可解释的动机 $R^2_\mathrm{adjusted}$ 。但是，对于单个随机（即不相关）的预测变量，我无法得出 $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$ ）的值。

有人可以在这里指出正确的方向吗？

— gregory_britten
source

万一将来链接失效，您能否提供完整的参考？谢谢。

— 理查德·哈迪

这是准确的数学统计。看到此信息用于分配的推导的假设，即所有的回归量（BAR常数项）是不相关的因变量下（“随机预测”）。 $R^2$

此分布为Beta，其中为不计算常数项的预测变量数，为样本量， $m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

所以

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

这似乎是“证明”调整后的背后逻辑的聪明方法：如果确实所有回归变量都不相关，则调整后的 “平均”为零。 $R^2$ $R^2$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

只是我需要的一点信息！谢谢！并且万岁的Stack Exchange！

— gregory_britten

我对并非所有回归变量都与因变量不相关的情况感兴趣。您对此有什么参考吗？

— 奥利维尔

@Olivier不，恐怕不是。在“ F检验的回归显着性，替代方案下的分布”下查看，或类似的内容。

— Alecos Papadopoulos