轮廓函数有趣特征是否通过回归获得？

我假设使用回归的一般设置，即从族选择一个连续函数以适合给定数据根据某些自然标准（可以是任何空间，例如立方体或实际上是任何合理的拓扑空间）。 $h_\theta:X\to \mathbb R^n$ $\{h_\theta\}_\theta$ $(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$ $X$ $[0,1]^m$

是否有其中一个有兴趣的轮廓回归的应用 $h^{-1}(y)$ 的 $h$ 对于某些点 $y\in \mathbb R^n$ -例如零集合 $h^{-1}(0)$ ？

我感兴趣的解释如下：由于在许多情况下，所学习的都有不确定性 $h_\theta$ （数据的不精确或缺乏），因此人们可能想分析零集 $h^{-1}(0)$ “坚固”。即，研究所有“扰动”所共有的零集特征 $h$ 。一个很好的了解已经非常一般设置在扰动最近开发 $f$ 可以任意连续映射接近 $h$ 在 $\ell_\infty$ 规范。或者，基本上等价地， $f$ 是任意连续的，这样对于每个 $x\in X$ 我们都有 $|f(x)-h(x)|\le c(x)$ 其中 $c:X\to\mathbb R$ 在每个处给出一些置信度值 $x$ 。

我们发展该理论和算法的主要动机是令人兴奋的数学背后（基本上所有问题/问题都归结为同伦理论）。但是，在当前阶段，为了进一步开发和实现算法，我们需要选择更具体的设置和目标。

regression machine-learning multiple-regression

— 马雷克·卡尔卡尔（Marek Krcal）
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h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ 提供了有关信息。通常，如果我们对感兴趣，就可以对其建模，即，我们建立一个模型，其中是因变量。我们所说的是我所遇到的统计文本。如果有人证明分析真的很有趣，我会很好奇。对于简单线性回归，我们有，我想起它的重要性。我想证明一下，看来您正在做的事情很有趣。

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$

h (x) = α + x β

$h(x)= \alpha+x\beta$

h^{- 1} (0) = \frac{- α}{β}

$h^{-1}(0)=\frac{-\alpha}{\beta}$

— mpiktas 2015年

@mpiktas谢谢您的发言。我们想到了在中是非线性的情况（例如，通过高斯随机字段进行回归，例如下面链接的第2章），其中将变得不那么琐碎。gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf

h_{θ}

$h_θ$

x_{i}

$x_i$

h^{- 1} (0)

$h^{−1}(0)$

— Peter Franek

抱歉扮演魔鬼的拥护者，但我已经阅读了本章，但仍然看不到为什么如此重要。不平凡，是的，但有用的，不是。但是，我很高兴能得到其他证明。

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$

— mpiktas 2015年

经济学家对此经常感兴趣。通常，我们估算消费者的效用函数，其中域描述消费者消费的每种商品的数量，范围是消费束使他变得“高兴”的程度。我们将效用函数的水平集称为“差异曲线”。我们经常估计企业的成本函数，其中所述域的所述两个部分是商行产生每个输出的数量和价格为每个输入该公司的用途在生产中。水平集称为等价曲线。 $u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ $c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$ $c$

最常见的是，我们感兴趣的水平集的属性是边界的斜率。冷漠曲线的斜率告诉您，消费者以什么速率折衷不同的商品：“您愿意为多少个苹果放弃多少个杏子？” 等成本曲线的斜率告诉您（取决于域的哪个部分），如何在生产中替代不同的输出（以相同的成本，如果您生产的剃须刀片少了10个，那么您可以制造多少个销），或不同输入的可替代性。

经济学家完全沉迷于一阶偏导数的比率，因为我们沉迷于权衡取舍。我猜这些可以（总是？）被视为水平集边界的斜率。

另一个应用是经济均衡的计算。最简单的例子是供需系统。供给曲线表示每个价格愿意生产多少生产者：。需求曲线表示每个价格下，有多少消费者愿意需求：。取任意价格，并将多余需求定义为。均衡价格为 ---即市场清算的价格。和可以是向量，而和通常是非线性的。 $q=s(p)$ $q=d(p)$ $p$ $e(p)=d(p)-s(p)$ $e^{-1}(0)$ $q$ $p$ $d$ $s$

我在上一段中描述的（需求和供应）只是一个示例。一般设置非常普遍。在博弈论中，也许我们对计算游戏的纳什均衡感兴趣。为此，您为玩家定义了一个函数（最佳响应函数），该函数将其最佳策略作为范围，并为所有其他玩家以域作为策略：。将所有这些堆叠到向量最佳响应函数中：。如果可以表示为实数，则可以定义一个给出距平衡距离的函数：。则是游戏的均衡集。 $i$ $s_i=br(s^{-i})$ $s=BR(s)$ $s$ $d(s)=BR(s)-s$ $d^{-1}(0)$

经济学家是否通常用回归来估计这些关系取决于您对回归的定义有多广泛。通常，我们使用工具变量回归。同样，在使用效用函数的情况下，没有观察到实用性，因此我们有各种潜在变量方法来估计它们。

— 法案
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