使用卡方距离比较两个直方图

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我想比较两张面孔的图像。我计算了他们的LBP直方图。因此，现在我需要比较这两个直方图，并获得可以说明这些直方图相等（0-100％）的信息。

解决此任务的方法有很多，但是LBP方法的作者强调（带有局部二进制模式的面部描述：应用于面部识别。2004年），卡方距离比直方图交点和对数似然统计更好。

作者还显示了卡方距离的公式：

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{(x_{i} + y_{i})}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

其中是多个bin，是第一个bin 的值，是第二个bin的值。 $n$ $x_i$ $y_i$

在一些研究中（例如二次方卡尺直方图距离族），我看到卡方距离的公式为：

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{(x_{i} + y_{i})}

$\cfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

在http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htm中，我看到卡方距离的公式为：

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{y_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {y_i}$

我坚持下去。我有几个问题：

我应该使用什么表情？
我应该如何解释差异的结果？我知道等于0的差意味着两个直方图都相等，但是如何知道两个直方图完全不同？我需要使用卡方表吗？还是我需要使用阈值？基本上，我想将差异映射到百分比。
为什么这三个表达式不同？

chi-squared histogram image-processing

— 安东·霍洛文（Anton Holovin）
source

yi是否不是与xi相同的bin的值，而是比较器分布中的值，而不是第二bin的值？

— ReneBt '18年

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@Silverfish要求扩大PolatAlemdar的答案，没有给出答案，所以我将在这里尝试扩大答案。

为什么叫方方距离？应急表中的卡方检验是基于这样做是为了保持这种形式，并把它作为一个距离度量。这给出了OP的第三个公式，其中解释为观察值，作为期望值，这解释了PolatAlemdar的评论“它用于离散概率分布”，例如，拟合优度检验。第三种形式不是距离函数，因为它在变量和是不对称的。为了进行直方图比较，我们需要一个在和对称的距离函数，这两种形式都可以给出。它们之间的差异只是一个常数

χ^{2} = \sum_{cells} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi^2 = \sum_{\text{cells}} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

，这是不重要的，只要您始终选择一种形式即可（尽管该版本具有额外的系数

\frac{1}{2}

$\frac12$

如果要与非对称形式进行比较，则

更好。请注意，这些公式与平方欧几里德距离的相似性，不是巧合，卡方距离是一种

\frac{1}{2}

$\frac12$ 加权的欧氏距离。因此，OP中的公式通常放在根符号下以获取距离。在下文中，我们将遵循此步骤。

卡方距离也用于对应分析。要查看与此处使用的表单的关系，令为具有行和列的列联表的像元。表示行总数为，列总数为。行之间的卡方的距离由下式给出 $x_{ij}$ $R$ $C$ $x_{+j}=\sum_i x_{ij}$ $x_{i+}=\sum_j x_{ij}$ $l,k$

χ^{2} (l, k) = \sqrt{\sum_{j} \frac{1}{x_{+ j}} {(\frac{x_{l j}}{x_{l +}} - \frac{x_{k j}}{x_{k +}})}^{2}}

$\chi^2(l,k) = \sqrt{\sum_j \frac1{x_{+j}}\left(\frac{x_{lj}}{x_{l+}}-\frac{x_{kj}}{x_{k+}} \right)^2 }$ 对于只有两行（两个直方图）的情况，这些将恢复OP的第一个公式（对根符号取模）。

EDIT

在下面的评论中回答问题：迈克尔·格林纳克雷（Chapman＆Hall）撰写的一本关于卡方距离的长期讨论的书是《实践中的对应分析（第二版）》。这是一个很好的名称，因为它与列联表中使用的方格相似。它有什么分布？我从来没有研究过，但可能（在某些条件下）它大约具有卡方分布。证明应该与列联表类似，大多数有关对应分析的文献都没有纳入分布理论。包含一些可能与此理论相关的论文是http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382016000100023。另见/stats//search?q=%22chisquare+distance%22，以获取本网站上的其他一些相关帖子。

— 克吉蒂尔·哈沃森
source

请问为什么您的最后一个方程称为卡方距离？这样分发吗？您能否提供一个推导或一个链接？我似乎找不到一个。

— LeastSquaresWonderer

1

请参阅上面的修改。

— kjetil b halvorsen

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我发现此链接非常有用：http : //docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/imgproc/histograms/histogram_comparison/histogram_comparison.html

我不太清楚为什么，但是OpenCV使用您列出的第三个公式进行卡方直方图比较。

在含义上，我不确定任何测量算法都可以为您提供有限的范围，例如0％到100％。换句话说，您可以确定两个图像是相同的：相关值为1.0或卡方值为0.0；相关值为1.0。但是很难限制两个图像之间的差异：想象一下比较一个完全白色的图像与一个完全黑色的图像，数值要么是无穷大，要么是非数字。

— 罗素
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2

实际上，您可以使用您认为适合您的情况的任何东西。最后一个是不同的。它用于离散概率分布，因为如果交换，则最后一个将是对称的 $x$ $y$ 。

其他两个用于计算直方图相似度。

— PolatAlemdar
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1

$x$

x

$x$

2

x

$x$

y

$y$

0

根据OP的要求，以百分比表示的值（对于等式1）：

$p = \frac{\chi * S * 100}{N}$

哪里： $p$ 是差异百分比（0..100）。 $\chi$ 是方程式1的结果。 $N$ 是直方图中的bin数。 $S$ 是箱中的最大可能值。

根据要求补充：

计算该方程式可以得到与完整直方图的差异百分比。为两个直方图计算此值，然后从另一个直方图中减去一个，可以得出百分比差异。

— 卡洛斯·巴切洛斯（Carlos Barcellos）
source

2

我很难看这是如何回答任何问题的。你能详细说明吗？

— Laconic

这将给出（按要求，以百分比为单位）一个直方图与完整直方图有何不同。如果您从两个直方图中计算出该方程式，我们将知道彼此之间的差异，因为它用于三角剖分。

— 卡洛斯·巴切洛斯