单变量随机变量的均值是否始终等于其分位数函数的积分？

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我只是注意到，对从p = 0到p = 1的单变量随机变量的分位数函数（逆cdf）进行积分会产生变量的平均值。我之前从未听说过这种关系，所以我想知道：是否总是这样？如果是这样，这种关系是否广为人知？

这是python中的示例：

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

mean pdf quantile-function

— 泰勒·斯泰勒（Tyler Streeter）
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令为随机变量的CDF，因此逆CDF可以写为。在您的积分中，代入，以获得 $F$ $X$ $F^{-1}$ $p = F(x)$ $dp = F'(x)dx = f(x)dx$

\int_{0}^{1} F^{- 1} (p) d p = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x = E_{F} [X] .

$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$

这对于连续分布有效。由于CDF逆数不是唯一的定义，因此必须注意其他分布。

编辑

当变量不连续时，就Lebesgue测度而言，它不具有绝对连续的分布，需要注意反CDF的定义和计算积分的注意。例如，考虑离散分布的情况。根据定义，这是CDF是阶跃函数，其步长为，步长为每个可能值。 $F$ $\Pr_F(x)$ $x$

该图显示了伯努利分布的CDF 缩放为 $(2/3)$ $2$ 。即，随机变量具有等于的概率和等于的的概率。在和处的跳跃高度给出其概率。该变量的期望值显然等于。 $1/3$ $0$ $2/3$ $2$ $0$ $2$ $0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

我们可以通过要求定义“逆CDF” $F^{-1}$

F^{- 1} (p) = x if F (x) \geq p and F (x^{-}) < p .

$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$

这意味着也是一个阶跃函数。对于随机变量的任何可能的值，将在长度的间隔内获得值。因此，其积分是通过对求和而获得的，这只是期望值。 $F^{-1}$ $x$ $F^{-1}$ $x$ $\Pr_F(x)$ $x\Pr_F(x)$

这是前面示例的逆CDF的图形。CDF 中和的跳变成为这些长度的水平线，其高度等于和，这是它们对应于其概率的值。（逆CDF的定义超出间隔 $1/3$ $2/3$ $0$ $2$ $[0,1]$ 。）其整数是两个矩形的总和，一个矩形的高度为，底数为，另一个矩形的高度为，底数为，总计为，和以前一样。 $0$ $1/3$ $2$ $2/3$ $4/3$

通常，对于连续分布和离散分布的混合，我们需要定义逆CDF来平行于此构造：在每个高度离散跳跃处，我们必须形成长度的水平线，如上式所示。 $p$ $p$

— ub
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您在变量更改中犯了一个错误。x来自哪里？

— Mascarpone

3

@Mascarpone请阅读等式前面的文本。我认为变量:-)的更改没有错误，但是如果您认为这可以阐明此论述，我很乐意指出，当，则。我只是认为没有必要。

p = F (x)

$p=F(x)$

x = F^{- 1} (p)

$x=F^{-1}(p)$

— ub

现在我明白了；），

— Mascarpone

+1 Whuber：谢谢！您能否详细说明以使用给定的公式，如何照顾其逆CDF没有唯一定义的其他分布？

— 全部

1

为了绕过关于逆，伪逆等的不愉快考虑，并同时针对每一刻进行泛化，请参见此处。

— 难道

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等效分析在生存分析中众所周知：预期寿命为，其中生存函数为从出生时测量

\int_{t = 0}^{\infty} S (t) d t

$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$

S (t) = Pr (T > t)

$S(t) = \Pr(T \gt t)$

t = 0

$t=0$ 。（它可以很容易地扩展为覆盖负值。）

t

$t$

enter image description here

因此我们可以将其重写为但这是如所讨论区域的各种反射所示

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$

\int_{q = 0}^{1} F^{- 1} (q) d q

$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$

enter image description here

— 亨利
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1

我喜欢图片，并且本能地觉得这里潜藏着一个很棒的主意-我喜欢这个主意- 但我不理解这些特殊的主意。说明会有所帮助。使我停滞不前的一件事是想尝试将的积分扩展到：它必须发散。

(1 - F (t)) d t

$(1-F(t))dt$

- \infty

$-\infty$

— ub

@whuber：如果要扩展到负，则会得到。注意，如果对于约对称的分布收敛，即则很容易看到期望为零。求和而不是差给出约的平均绝对偏差。

t

$t$

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t - \int_{t = - \infty}^{0} F (t) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt - \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$

0

$0$

F (t) = 1 - F (- t)

$F(t)=1-F(-t)$

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t + \int_{t = - \infty}^{0} F (t) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt + \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$

0

$0$

— 亨利

如果您喜欢图表，那么您可能对Lee于1988年发表的这篇论文感兴趣：超额损失保险和回顾性评级的一种图形方法。

— Avraham

4

我们正在评估：

enter image description here

让我们尝试简单地更改变量：

enter image description here

而且我们注意到，根据PDF和CDF的定义：

enter image description here

几乎到处都有。因此，根据期望值的定义，我们具有：

enter image description here

— 马斯卡彭
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在最后一行中，我更清楚地解释了期望值的定义。几乎到处都涉及到最后一个方程之上的方程。en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere

— Mascarpone

1

编辑，thanx :)

— Mascarpone

3

对于任何具有cdf实值随机变量，众所周知，当在上一致时，具有与相同的定律。因此，只要存在，的期望就与的期望相同：表示适用于一般的CDF，服用是左连续逆在当它不可逆的。 $X$ $F$ $F^{-1}(U)$ $X$ $U$ $(0,1)$ $X$ $F^{-1}(U)$

E (X) = E (F^{- 1} (U)) = \int_{0}^{1} F^{- 1} (u) d u .

$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$

X \sim F^{- 1} (U)

$X \sim F^{-1}(U)$

F

$F$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

F

$F$

— 斯特凡·洛朗（StéphaneLaurent）
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1

注意，被定义为和是右连续函数。被定义为由于正确的连续性，是有意义的。让上的均匀分布。您可以轻松地验证 $F(x)$ $P(X\le x)$ $F^{-1}$

F^{- 1} (p) = min (x | F (x) \geq p) .

$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$

min

$\min$

U

$U$

[0, 1]

$[0, 1]$

具有相同的CDF为

，这是

。这不需要

连续。因此，

。积分是Riemann–Stieltjes积分。我们唯一需要的假设是

的均值存在（

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$

X

$X$

F

$F$

X

$X$

E (X) = E (F^{- 1} (U)) = \int_{0}^{1} F^{- 1} (p) d p

$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$

X

$X$

）。

E | X | < \infty

$E|X|<\infty$

— 旺
source

那和我的答案是一样的。

— 斯特凡·洛朗