如果和，则

9

这不是功课。

令 $X$ 为随机变量。如果 $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ 和 $\text{Var}[X] = 0$ ，是否遵循 $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ？

直观上，这似乎很明显，但是我不确定如何证明这一点。我知道一个事实，从这些假设可以得出的事实 $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ 。因此

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ 这似乎没有带我到任何地方。我可以尝试

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ 现在，因为

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ ，也遵循

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ 。

但是，如果我要使用等式

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ 那么我的直觉就是

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ ，因此

X \equiv k

$X \equiv k$ 。

我怎么知道我想证明是矛盾的。

如果，相反的， $X \neq k$ 所有 $X$ ，然后 $(X-k)^2 > 0$ ，和 $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ 的所有 $X$ 。我们有一个矛盾，所以 $X \equiv k$ 。

我的证据是否正确？如果是，那么是否有更好的方法来证明这一主张？

probability

— 单簧管
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@ user777我最初尝试了该方法（如您在看到的方程式），但不确定如何进行。

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— 单簧管

3

我相信切比雪夫（Chebyshev）的不等式会立即回答这个问题。

— ub

@whuber：至少维基百科关于切比雪夫不等式的声明明确要求非零方差。我真的看不到对于零方差情况我们是否需要某种基本的证明……

— Stephan Kolassa 2015年

1

@Stephan您可以轻松地将任何非退化分布与范围并应用不等式以显示对于所有和所有。

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

这是仅使用定义来补充其他方法的度量理论证明。我们在概率空间。注意并考虑整数。假设对于，存在使得在并且。然后从下面近似为，因此根据的标准定义为从下面近似的简单函数的积分之和， $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ 这是一个矛盾。因此，，。做完了

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— 埃克瓦尔
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5

通过矛盾证明这一点。通过方差的定义和假设，您可以

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

其中是的概率密度。注意和均为非负数。 $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

现在，如果，则 $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

具有量度大于零，和。但是之后 $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

（此处可能包含一些风格的参数），因此 $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

和你的矛盾。

— 斯蒂芬·科拉萨（Stephan Kolassa）
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2

什么是？与一样吗？ $X \equiv k$ $X = k$

ETA：Iirc， $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

无论如何，很明显

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

假设

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

然后

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

我认为的最后一步涉及概率的连续性……或您所做的事情（您是对的）。

还有切比雪夫不等式：

$\forall \epsilon > 0$ ，

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

良好的交谈再次。

顺便说一句为什么

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

？

在我看来而 $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
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1

是的，你是对的。我已经编辑了该帖子

— 单簧管演奏家2015年

@单簧管也编辑了我的：P

— BCLC