IID随机变量的期望值

我碰到这种推导，我不明白：如果$X_1, X_2, ..., X_n$是大小的随机样本n的平均值的人口采取$\mu$和方差$\sigma^2$，那么

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

这是我迷路的地方。使用的自变量为$E(X_i) = \mu$因为它们的分布相同。实际上这不是事实。假设我有一个样品，$S=\{1,2,3,4,5,6\}$，然后，如果随机地选择2号与替换，并重复此过程10次，然后我得到10个样品：（5,4）（2 ，5）（1，2）（4，1）（4，6）（2，4）（6，1）（2，4）（3，1）（5，1）。这是2个随机变量样子$X_1, X_2$。现在，如果我将期望值$X_1$我明白了

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

但是人口的期望值是3.5。我的推理到底有什么错？

$X_1, X_2,...,X_n$

$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

您问题中的第三个方程是使估计量成为总体参数的无偏估计量的条件。估计量无偏的条件是

$\bar{\theta}$

$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$。问题是给定该样本，您将如何估计总体平均值。根据以上公式，样本的平均值是总体平均值的无偏估计量。无偏估计量不必等于实际均值，但是只要得到此信息，它就与均值尽可能接近。