当两个序列都收敛到一个非退化随机变量时，Slutsky定理仍然有效吗？

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我对Slutsky定理的一些细节感到困惑：

令 $\{X_n\}$ ， $\{Y_n\}$ 是两个标量/向量/矩阵随机元素序列。

如果 $X_n$ 的分布收敛到一个随机元素 $X$ 而 $Y_n$ 的概率收敛到一个常数 $c$ ，则
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ 前提是 $c$ 是可逆的，其中 ${\xrightarrow {d}}$ 表示分布收敛。

如果Slutsky定理中的两个序列都收敛到一个非退化的随机变量，那么该定理仍然有效，如果无效（有人可以提供一个例子吗？），使它有效的额外条件是什么？

— 尼古拉斯·H
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Slutsky定理不扩展到两个分布在一个随机变量中收敛的序列。如果在分布上收敛到，则可能会收敛或收敛到以外的其他值。 $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

例如，如果针对所有的，则不会收敛到具有与相同分布的两个rv的差。 $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

另一个反例是，当所述序列和是独立的并且在分配两个会聚到正常的变量，如果一个限定和，则 $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ 参见答案通过的Davide有关此示例的更多细节。

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— 西安
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2

为了使其扩展，您需要更多的东西，例如独立性。

— kjetil b halvorsen

我是否正确地认为，如果两个序列都收敛为常数，那么Slutsky是否仍然适用，因为常数是RV的特殊（简并）情况？

— 半通

1

@ half-pass：这是正确的。

— 西安

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$(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ ，我们不能断言的分布。 $X_n+Y_n\to X+Y$

该示例表明，我们通常在分布中可能具有和，但是如果我们没有有关分布的信息，则收敛可能会失败。 $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

当然，一切都很好，如果的分布（例如，如果是独立的和的。一般情况下，我们只能断言序列是紧的（也就是说，对于每个正，我们都可以找到使得）。我们可能会发现整数的递增序列，使得收敛在分配到一些随机变量。 $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

主张。存在高斯随机变量和序列，这样任何，我们都可以找到一个递增的整数序列使得的分布收敛到。 $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

证明。考虑有理数的枚举和双射。对于，将定义为协方差矩阵的高斯中心向量。通过这种选择，可以看出，当是理性的时，该命题的结论得到满足。对于一般情况，请使用近似参数。 $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— 戴维·吉拉多（Davide Giraudo）
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