秘密圣诞老人的安排将导致完美配对的可能性

因此，我们有秘密圣诞老人在工作。

我们是8个人。我们每个人轮流从碗上拉出一小张上面有名字的纸。唯一的规则：如果您拉名字，则必须将纸放回碗中，然后重试。

我们称人们A，B，C，D，E，F，G，H，这也是他们拣纸的顺序。

昨晚我们做了礼物交换。

A是F的秘密圣诞老人。
B是E的秘密圣诞老人。
C是D的秘密圣诞老人。
D是C的秘密圣诞老人。
E是B的秘密圣诞老人。
F是A的秘密圣诞老人。
G是H的秘密圣诞老人。
H是G的秘密圣诞老人。

看看发生了什么事？我们结了夫妻。

A和F是彼此的秘密圣诞老人。
B和E是彼此的秘密圣诞老人。
C和D是彼此的秘密圣诞老人。
G和H是彼此的秘密圣诞老人。

发生这种情况的可能性是多少？如何计算？

个人（其中没有人分配给自己）的总分配数量为d （2 n ）= （2 n ）！（1 / 2 - 1 / 6 + ⋯ + （- 1 ）ķ / ķ ！+ ⋯ + 1 /（2 Ñ ）！）。 （这些称为排列。）该值非常接近$2n$

$$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$$ 。$(2n)! / e$

如果它们与完美配对相对应，则它们是不相交换位的产物。这意味着它们的循环结构为以下形式

$$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$$

$2n$$n!$$2^n n!$

$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

这样的配对。

由于所有这样的完美配对都是错位，并且所有错位的可能性均等，因此机会等于

$$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$$

$2n=8$$15/2119 \approx 0.00707881$$e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

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为了进行检查，此R模拟绘制了八个对象的一百万个随机排列，仅保留了那些排列错乱的对象，并对那些完美配对的对象进行了计数。它输出其估计值，估计值的标准误差和Z分数，以将其与理论值进行比较。它的输出是

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

$0.0066$$0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

@whuber答案的优雅给我留下了深刻的印象。老实说，我必须熟悉新概念才能遵循他的解决方案中的步骤。在花了很多时间之后，我决定发布我得到的东西。因此，下面是他已经接受的回应的训诫性注释。这样，就不会尝试独创性了，我的唯一目标是提供一些附加的定位点，以遵循其中涉及的某些步骤。

所以就这样...

$2n$

2.我们可以推导错位公式吗？

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

现在注意到该方程式的LHS与括号中RHS的零件之间的平行性，我们可以递归继续：

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

向后工作：

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

所以总的来说，

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$$x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$${b,d,a,c,f,e}$a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f$(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$$2n$$2^n$$n!$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

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对于R模拟：

1。 paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x]$8$Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2。 good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$$(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired)是否排除了图中未配对的成对排列，如上图所示：

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.