误差函数和标准正态分布函数如何相关？

如果标准普通PDF为

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

CDF为

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

这如何变成的误差函数？$z$

因为这在某些系统中经常出现（例如，Mathematica坚持使用表示正常CDF ），所以最好有一个这样的线程来记录该关系。$\text{Erf}$

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根据定义，误差函数为

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

写意味着（因为不是负数），因此。端点和变为和。要将结果积分转换为看起来像累积分布函数（CDF）的东西，必须使用下限为的积分表示，因此：吨= ž / $t^2 = z^2/2$ tdt=dz/$t = z / \sqrt{2}$$t$吨=0吨=XŽ=0ž=X$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$ -$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

右侧尺寸上的那些积分都是标准正态分布的CDF值，

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

特别，

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

这显示了如何用普通CDF表示误差函数。就其代数操作而言，就误差函数而言，很容易得到普通CDF：

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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这种关系（无论如何，对于实数）都在两个函数的图中显示。这些图是相同的曲线。误差函数的左侧的坐标被转换为坐标由乘以右边由坐标，加入至坐标，然后将所述由坐标，这反映了关系X $\Phi$$x$ 1ÿÿ$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

其中该符号明确显示了乘法，加法和除法这三个操作。