为什么在排队论问题中选择Poisson分布来模拟到达过程？

当我们考虑个人到达服务节点并排队的排队论场景时，通常使用泊松过程对到达时间进行建模。这些情况出现在网络路由问题中。对于为什么泊松过程最适合对到达进行建模的直观解释，我将不胜感激。

泊松过程涉及到下一位客户到达之前的“无记忆”等待时间。假设从一个客户到下一个客户的平均时间为。到下一次到达为止的无记忆连续概率分布是这样的概率，即直到下一次到达之前，再等待一分钟，一秒钟或一小时等的概率，并不取决于您自上一次以来等待了多长时间。 。自从上次到达以来您已经等待了五分钟，就比在您自上次到达之后仅等待了10秒的情况下，客户在下一分钟到达的可能性更大。$\theta$

这自动意味着直到下一次到达的等待时间满足Pr （T > t ）= e − t / θ，即，它是指数分布。$T$$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

进而可以表明，在长度为t的任何时间间隔内到达的客户数量满足Pr （X = x ）= e − t / θ（t / θ ）$X$$t$即具有期望值t/θ的泊松分布。而且，这意味着在不重叠的时间间隔内到达的客户数量在概率上是独立的。$\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$$t/\theta$

因此，等待时间的无记忆导致了泊松过程。

几乎任何有关排队论或随机过程的介绍都将对此进行介绍，例如Ross，随机过程或Kleinrock排队论。

关于无记忆到达导致指数距离的证明的概述：

令G（x）= P（X> x）= 1-F（x）。现在，如果分发是无记忆的，

G（s + t）= G（s）G（t）

也就是说，x> s + t的概率=它大于s的概率，现在，它大于s的概率大于（s + t）。无记忆属性意味着第二个（条件）概率等于具有相同分布的不同rv> t的概率。

引用罗斯：

“上述方程式中满足任何合理条件（例如单调性，左右连续性，甚至可测量性）的唯一解的形式为：”

对于某个合适的a值，G（x）= exp（-ax）。

并且我们处于指数分布。