多重条件的贝叶斯定理

我不明白这个方程式是如何得出的。

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

该方程式来自“概率试验”，其中以OJ Simpson的情况为例。被告正在接受双重谋杀的审判，并提出了两项针对他的证据。

$M_{1}$ 是被告的血液与犯罪现场发现的一滴血相匹配的事件。是受害者的血液与属于被告的袜子上的血液相匹配的事件。假设有罪，一个证据的出现增加了另一个证据的可能性。是事件被告是无辜的，而是当他是有罪的。 $M_{2}$ $I$ $I'$

根据这两个证据，我们正在尝试确定被告无罪的可能性的上限。

给出了一些变量的值，但我感兴趣的是方程的推导方式。我尝试了，但是一无所获。

是的，我已经检查了“可能已经有了答案的问题”。

bayesian conditional-probability bayes

— 樱边
source

是什么意思？它是

？

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— 西安

@西安是

是

另一种符号

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

通过贝叶斯定理：现在，您提供的论文认为

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

如果为真，则和是独立的。但是假设有罪，一个人的出现会增加另一个人的可能性。 $I$ $M_1$ $M_2$

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— 弗朗西斯
source

我首先要感谢您抽出宝贵的时间来帮助您。但是我还是有点困惑。您能否添加方程式编号并指出在以后的替换中应用早期方程式的位置？事情开始变得有意义了，但是在“和”之后我仍然没有得到不等式，而用分母代替整个部分的部分变成了不等式。我猜想对论文中引用的论点如何进行数学解释的解释会有所帮助。再次感谢！

— Sakurabe 2015年

@Sakurabe：更好吗？

— 弗朗西斯

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

@Sakurabe：是的，因为该术语不是负数，所以删除它会减少分母。

— 弗朗西斯