可视化二元二项分布

问题：二元二项分布在3维空间中是什么样的？

下面是我想针对各种参数值可视化的特定功能；即，和。 $n$ $p_{1}$ $p_{2}$

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}! x_{2}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}}, x_{1} + x_{2} = n, p_{1} + p_{2} = 1.

$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$

注意，有两个约束；和。另外，是一个正整数，例如。 $x_{1}+x_{2}=n$ $p_{1}+p_{2}=1$ $n$ $5$

在使用LaTeX（TikZ / PGFPLOTS）进行了两次绘图功能的尝试。这样做，我得到以下图形的以下值：，和以及，和分别为。我尚未成功实现对域值的约束；，所以我有些困惑。 $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$ $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$ $x_{1}+x_{2}=n$

用任何语言生成的可视化效果都很好（R，MATLAB等），但是我正在使用TikZ / PGFPLOTS在LaTeX中工作。

第一次尝试

$n=5$ ，和 $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$

第二次尝试

$n=5$ ，和 $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$

编辑：

作为参考，这里是包含一些图表的文章。论文的标题是Atanu Biswasa和Hing-Shiang Hwang撰写的“新的二元二项分布”。统计与概率快报60（2002）231–240。

编辑2： 为清楚起见，并针对评论中的@GlenB，以下是该书中如何向我介绍发行版的快照。该书未涉及退化/非退化案例等。它只是这样呈现，而我试图对其进行可视化。干杯! 而且，正如@JohnK指出的那样，关于x1 + x1 = 1可能有一个错字，他建议应该为x1 + x1 = n。

方程的图像来自：

Spanos，A（1986）计量经济学建模的统计基础。剑桥大学出版社

— 格雷姆·沃尔什（Graeme Walsh）
source

但这不应该是连续的，对吗？两个随机变量都是离散的。

— JohnK

所以x1和x2是独立的，对吗？您需要伪3D图吗？热图可以接受吗？

— gung-恢复莫妮卡

事情是这样？

— 安东尼帕雷拉达，2016年

@JohnK如果和您正在处理（而只是）。这是单变量的二项式（或者被认为是双变量的，是简并的）。

x_{1} + x_{2} = n

$x_1+x_2=n$

p_{1} + p_{2} = 1

$p_1+p_2=1$

X_{1} \sim Binomial (n, p_{1})

$X_1\sim \text{Binomial}(n,p_1)$

X_{2}

$X_2$

n - X_{1}

$n-X_1$

— Glen_b-恢复莫妮卡

您的问题中没有双变量二项式的规格。（指定一种可能被称为“二项式”的双变量分布的方法不止一种。您没有任何一种，尽管退化的将是其中某些的特例。）您的Biswasa＆黄参考是不离散二元PMF的合适的显示器。简而言之，您的问题没有什么要提的，您的参考资料主要是作为避免事项的示例。

— Glen_b-恢复莫妮卡

Answers:

这有两部分：首先，您需要弄清楚各个概率是什么，然后需要以某种方式绘制它们。

二项式PMF只是一系列“成功”中的一组概率。二元二项式PMF将是“成功”可能组合的网格上的一组概率。在您的情况下，您有，因此（请记住，有可能成功在网格/二元二项分布中有可能的结果。 $n_i = n_j = 5$ $0$ $6\times 6 = 36$

我们可以首先计算边缘二项式PMF，因为这非常简单。由于变量是独立的，因此每个联合概率都将是边际概率的乘积。这是矩阵代数。在这里，我使用R代码演示此过程：

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

至此，我们有了两个必要的概率矩阵。我们只需要决定如何绘制它们即可。老实说，我不是3D条形图的忠实拥护者。因为R似乎同意我的观点，所以我在Excel中制作了这些图：

b19：

b46：

— gung-恢复莫妮卡
source

感谢您的介绍和R代码。这导致我问x1 + x2 = n。如果这种情况成立，那么这里应该只显示一行支柱：reference.wolfram.com/language/ref/MultinomialDistribution.html我假设的Wolfram图就是@Glen_b所谓的简写情况？这是否意味着您已经提出了非简并的案例？

— Graeme Walsh

GraemeWalsh，我的演示文稿未显示x1 + x2 = n的二元二项式。正如@Glen_b在评论和他的回答中广泛讨论的那样，我不会真正称其为“二元二项分布”，而没有限定它。而且，这意味着x1和x2不是独立的（如您在响应评论中所说），而是完全独立的。实际上，我没有注意到这是一个奇怪的变体（您可以怪我没有足够仔细地阅读）。如Glen_b所示，该版本将是一行支柱。我介绍的是非退化的情况。

— gung-恢复莫妮卡

@gung我喜欢你的新地块。我认为您的讨论很好地涵盖了退化的情况（“您需要弄清楚各个概率是什么”确实说明了一切；退化情况的实际计算是微不足道的）；我只是进行了这些琐碎的计算。

— Glen_b-恢复莫妮卡

gung的答案对于实际的二元二项式来说是一个很好的答案，可以很好地说明问题（我建议接受它作为标题问题的很好答案，这很可能对其他人有用）。

您实际上在编辑中出现的数学对象实际上是单变量缩放的二项式。这里是不是由二项式计数，但通过的比例（二项式除以获取的值）。 $x_1$ $n$

因此，让我们正确定义事物。请注意，实际上没有提供随机变量的定义，因此我们需要进行一些猜测。

让请注意，当我们给一个数学公式这是必要的什么值可以拿，所以。令，并注意。 $Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$ $P(Y_1=y_1)$ $y_1$ $y_1=0,1,...,n$ $X_1=Y_1/n$ $x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

然后，您给出的方程式是的pmf （请注意和）。 $P(X_1=x_1)$ $x_2=n-x_1$ $p_2=1-p_1$

对于，它看起来像这样： $n=6,p_1=0.3$

我们只需将第二组标签放在等于的值下（也许用不同的颜色）来指示所取的值，就可以很容易地将值放在上述图上。 $x_2$ $x_1$ $1-x_1$ $x_2$

我们可以将其视为（缩放）简并双变量二项式：

但真正将本书中定义的称为二元二项式（因为它实际上是单变量二项式），有点费力。

假设有人想要生成与3D图形相似的图形，那么（R）代码的这一点与上面的第二个图形非常接近：

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

（您需要scatterplot3d包含相同功能的软件包。）

“真实”（非简并）双变量二项式同时具有两个变量的变化。这是一类特殊的二元二项式（在这种情况下不是独立的）的示例。我在情节中使用了不同的颜色，因为否则很容易迷失在“棍子”森林中。

有很多方法可以获取称为二元二项式的对象。这种特殊类型是您拥有，，（所有独立的），然后让和。 $X\sim\text{bin}(n_0,p)$ $Y\sim\text{bin}(n_y,p)$ $Z\sim\text{bin}(n_z,p)$ $X_1=X+Y$ $X_2=X+Z$

这样就产生了相关的二项式和（但缺点是它不会产生负相关）。 $X_1$ $X_2$

这种特殊的双变量二项式分布的pmf表达式在Hamdan，1972中给出[1]，但是我没有使用该计算；一个人可以很容易地进行直接计算（数字卷积）。在此特定情况下，为4，和分别仅为2，因此在整个网格上进行直接数值计算（最终结果为49个值）并不困难也不费力。从退化的双变量（两个维度）开始，类似于上图的退化的双变量（但更小且在“主对角线” 上-x_1而不是对角线（）），然后添加独立分量，沿对角线传播概率。 $n_0$ $n_y$ $n_z$ $=X$ $x_1=x_2$ $x_1+x_2=n$

[1]：Hamdan，MA（1972），
“具有不等边际指数的双变量二项分布的规范展开”，《
国际统计评论》， 40：3（12月），第277-280页。

— Glen_b-恢复莫妮卡
source

真好还值得注意的是，在这种情况下，

c o r r (X_{1}, X_{2}) = - 1

$corr(X_1, X_2) = -1$

— JohnK，2016年

Glen_b。非常感谢你。指出我提出（已经提出给我！）的数学对象是（缩放）简并二元二项式非常有用！我从一开始就不知道这一点。最后，一个基本要求！您是否可以明确地（通过数学符号表示）如何定义真正的或实际的二元二项式？我认为这将很有用。

— Graeme Walsh

@Graeme正如我在评论（/ answer）中已经提到的那样，有很多方法可以获取可以称为双变量二项式的对象（实际上，问题中Biswasa和Hwang参考的标题告诉了您很多）。当然，这并不是二项式所独有的，许多更常用的单变量分布有许多可用的双变量概括。我在回答中给出的“特殊类型的二元二项式”是您拥有，，（所有独立的），然后让和。... ctd

X \sim bin (n_{0}, p)

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$

Y \sim bin (n_{y}, p)

$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$

Z \sim bin (n_{z}, p)

$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$

X_{1} = X + Y

$X_1=X+Y$

X_{2} = X + Z

$X_2=X+Z$

— Glen_b-莫妮卡（Monica）恢复

ctd ...这会产生相关的二项式和，但缺点是它不会产生负相关，因此对于一般的双变量建模，它不如其他一些双变量二项式公式有用。通常，当将单变量分布族概括为双变量族时，必须选择最想要的属性以及可以负担得起的属性，而这些选择将导致双变量族的不同选择。[正态分布是不寻常的-有一种我们所有想要的东西都有一个“明显的”概括。]

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b-恢复莫妮卡

@Graeme ...我计划添加更多详细信息。

— Glen_b-恢复莫妮卡

Mathematica现在在这样的事情上相当强大-它在文档中可以解决您的问题。只需添加很少的内容，我就可以制作一个模型（p = p1 = 0.4可以更好地呈现视觉效果）。这就是界面的外观以及如何对其进行控制。

片段

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]我认为，这里的主要内容是不言自明的。Multinomial只是意味着您可能会pi针对每个变量进行大量分配。简单的形式是BinomialDistribution。当然，我可以手动创建它，但是规则是如果您具有内置功能-应该使用它。

如果您需要有关代码结构的一些注释，请告诉我。

— 加雷
source