零假设和替代假设是否必须详尽无遗？

我看到很多时候声称它们必须是详尽无遗的（这类书中的示例总是以这样的方式设置，以致于确实如此），另一方面，我也看到很多次书指出它们应该是排他性的（例如为和为），而没有弄清详尽的问题。只是在输入这个问题之前，我在Wikipedia页面上发现了一些更强的说法-“替代方法不必是原假设的逻辑否定”。 $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

有经验的人能解释一下这是真的吗，我感谢能阐明这种差异的（历史性？）原因（毕竟这些书是统计学家写的，即科学家而不是哲学家）。

hypothesis-testing

— 格林曼
source

Answers:

原则上，没有理由将假设详尽无遗。如果测试是关于一个参数与是所述限制，替代可以是任何形式的只要 $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

关于穷竭性没有多大意义的一个示例是在比较两个模型系列与。在这种情况下，穷举是不可能的，因为替代方案将不得不覆盖所有可能的概率模型。 $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— 西安
source

谢谢，您有没有机会知道为什么如此详尽的要求如此普遍？除了简单的误解之外，因为这将是最常见的误解之一：-)。

— greenoldman 2011年

我不明白这个例子。比较两个模型系列

和

，确实会耗尽模型中所有可能的模型。如果允许空值和替代并不涵盖所有这样的模型，你复杂评估测试的决策理论风险（无论在理论上还是在实践中）的过程。

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— ub

@whuber：您误解了我的例子。如上述写入时，替代

由定义良好的模型家族，其中的

的范围内的整个可能值的集合，而不是正在取得所有可能的概率模型。因此，这并不详尽。这是对贝叶斯测试方法的一种批评，例如参见科学哲学家黛博拉·梅奥（Deborah Mayo）的《错误与推论》

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— 西安），

我想我在正确地阅读您的例子，西安，但是显然我在为您所说的“详尽无遗”而挣扎。在您的答案和评论中使用它似乎意味着“包括所有概率分布”，但是在大多数假设检验情况下，这无关紧要。在当前情况下，“穷举”需要表示“包括模型中包括的所有分布”（例如，用于正则理论检验的所有正态分布）。

— ub

看到假设要求详尽无遗的主要原因是，如果真实参数值位于空假设或替代假设未覆盖的区域中，将会发生什么问题。然后，在测试的的置信水平就变得毫无意义，或者可能更糟，你的测试将有利于空的偏向-例如，表格的单侧检验与的时候，居然。 $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

一个例子：要单侧检验 VS 从与已知的正态分布和真。为100的样品尺寸，95％的试验将拒绝如果，但0.1645实际上是真正的平均值以上2.645标准偏差，导致约99.6％的实际测试水平。 $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

此外，您还可以避免感到惊讶和学习有趣的东西的可能性。

但是，也可以将其定义为将参数空间定义为通常可以视为参数空间的子集，例如，通常认为正态分布的均值位于实线上的某个位置，但是如果实际上，在单方面测试中，我们将参数空间定义为null和Alternative覆盖的行的一部分。

— 鲍伯曼
source

谢谢，您虽然在措词上犯了错误，但不是排他的，而是详尽的（第一行）。

— greenoldman 2011年

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

θ = 0

$\theta = 0$

真的是@whuber吗？单面检验中的原假设是一个不等式，其中包括未经检验的尾巴？这对我来说意义非凡！但是正如您所说，它在我的课程中被认为是点均等。感谢您的澄清。

— 詹姆斯