回归到“思考，快速和慢速”中的均值

丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）在《快与慢的思考》中提出了以下假设问题：

（第186页）朱莉目前在州立大学任教。她四岁时能流利阅读。她的平均成绩（GPA）是多少？

他的目的是说明在做出有关某些统计数据的预测时，我们通常如何无法解释均值的回归。在随后的讨论中，他建议：

（第190页）回想一下，在当前案例中，阅读年龄和GPA两项测量之间的相关性等于决定因素中共享因素的比例。您对该比例的最佳猜测是什么？我最乐观的猜测是大约30％。假定此估计，我们将需要产生一个无偏预测。以下是通过四个简单步骤到达那里的说明：

1. 首先估算平均GPA。
2. 确定符合您对证据印象的GPA。
3. 估计阅读早熟与GPA之间的相关性。
4. 如果相关系数是0.30，则将平均值的30％距离移到匹配的GPA。

我对他的建议的解释如下：

1. 使用“她四岁时能流利阅读”为朱莉的阅读早熟建立标准分数。
2. 确定具有相应标准分数的GPA。（如果 GPA和阅读早熟之间的相关性是完美的，则可以预测的合理GPA将与此标准分数相对应。）
3. 估计GPA差异的百分比可以通过阅读早熟的差异来解释。（在这种情况下，我假设他指的是“相关”的确定系数？）
4. 由于朱莉的阅读早熟标准分数的只有30％可以由解释她的GPA标准分数的因素来解释，因此我们仅有理由预测朱莉的GPA标准分数将是该分数的30％在完全相关的情况下。

我对卡尼曼程序的解释正确吗？如果是这样，他的程序是否有更正式的数学证明，尤其是步骤4？通常，两个变量之间的相关性与其标准分数的变化/差异之间是什么关系？

我对卡尼曼程序的解释正确吗？

这很难说，因为Kahneman的步骤2并不是很精确地表述：“确定与您对证据的印象相匹配的GPA”-这到底是什么意思？如果对某人的印象进行了很好的校准，则无需针对均值进行校正。如果某人的印象严重差强人意，那么他们应该更纠正甚至更强。

所以我同意@AndyW的观点，卡尼曼的建议只是一个经验法则。

$z$$z$

[...]他的程序是否有更正式的数学依据，尤其是步骤4？通常，两个变量之间的相关性与其标准分数的变化/差异之间是什么关系？

$y$$x$$z$$\rho$

$x$$y$$\rho$

这就是所谓的“均值回归”。您可以在Wikipedia的讨论中看到一些公式和派生词。

您的数字顺序与Kahneman报价不匹配。因此，您似乎可能错过了总体要点。

卡尼曼的观点最重要。这意味着从字面上估计每个人的平均GPA。该建议背后的观点是它是您的锚点。您给出的任何预测都应参考该锚点周围的变化。我不确定在您的任何观点上是否都看到了这一步！

Kahneman使用首字母缩略词WYSIATI，您所看到的就是全部。这是人类倾向于高估当前可用信息的重要性的趋势。对于许多人而言，有关阅读能力的信息会使人们认为朱莉很聪明，因此人们会猜测一个聪明人的GPA。

但是，孩子四岁时的行为几乎没有与成人行为有关的信息。在做出预测时，最好忽略它。它只会使您偏离锚点少量。同样，人们最初对聪明人的GPA的猜测可能非常不准确。由于选择，大多数大学前辈的智力都高于平均水平。

除了朱莉四岁时的阅读能力外，问题中实际上还有其他一些隐藏的信息。

• 朱莉很可能是女性名字
• 她正在上州立大学
• 她是大四学生

我怀疑所有这三个特征均比总体学生人数略有提高。例如，我打赌长者的GPA可能比Sophmores的高，因为GPA差的学生辍学了。

因此，卡尼曼的程序（作为假设）会像这样。

1. 州立大学女生的平均GPA为3.1。
2. 我猜是基于朱莉4岁的高级阅读能力，她的GPA为3.8
3. 我猜4岁时的阅读能力与GPA相关系数为0.3
4. 那么在3.1和3.8之间的距离中有30％是3.3（即3.1 + (3.8-3.1)*0.3）

因此，在此假设下，朱莉的GPA最终猜测为3.3。

卡尼曼方法中均值的回归是，步骤2可能是对可用信息重要性的高估。因此，更好的策略是将我们的预测回归到总体均值。第3步和第4步是（临时）估算要回归多少的方法。