连续均匀RV的分布，上限为另一个连续均匀RV

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如果和，那么我可以说， $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

我说的是极限为连续均匀分布。证明（或证明！）将不胜感激。 $[a, b]$

uniform distributions

— 布莱恩·瓦恩
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不，不是。在R中：hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))很清楚地表明

Y

$Y$ 当然不是均匀分布的。（我将其作为评论发表，因为您要求提供证明，这不应该很难，但是说实话，鉴于直方图的偏斜，我认为没有必要证明...）

— Stephan Kolassa

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a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

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我们可以分析得出的分布。首先，请注意遵循均匀分布的是，即 $Y$ $Y|X$

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

所以

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

由于，这不是统一的分布。这是分布的模拟密度，上面覆盖了我们刚才计算的密度。 $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— 约翰·克
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当然不。

为简单起见，让我们定义。 $a = 0, b = 1$

然后

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

由于严格的不等式， Unif（0,1）是不可能的。 $Y \sim$

— 悬崖AB
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