从大小为的牌组中抽出张卡片时，看不见的卡片的预期数量

我们有一副$n$张牌。我们随机更换，从中均匀地抽取卡片。$2n$抽奖后，从未选择的期望牌数是多少？

此问题是问题2.12中的第2部分

M. Mitzenmacher和E. Upfal，《概率与计算：随机算法和概率分析》，剑桥大学出版社，2005年。

而且，就其价值而言，这不是作业问题。这是自学的，我只是被卡住了。

到目前为止，我的回答是：

令$X_i$为第$i$次抽奖后看到的不同纸牌的数量。然后：

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

这里的想法是，每次绘制时，我们要么绘制我们看到的卡片，要么绘制我们没有看到的卡片，然后我们可以递归地定义它。

最后，问题的答案是nE [X_ {2n}]，我们在2n次抽签后还没看到多少？$2n$$n-E[X_{2n}]$

我相信这是正确的，但是必须有一个更简单的解决方案。

任何帮助将不胜感激。

提示： 在任何给定的平局中，未选择牌的概率为。而且由于我们要进行替换绘画，因此我可以说每个抽签都独立于其他抽签。因此，在抽奖中未选择一张牌的概率为...$\frac{n-1}{n}$$2n$

谢谢Mike的提示。

这就是我想出的。

假设是伯努利随机变量，如果从未抽取过卡，则。然后，但是由于对于所有都是相同的，因此让。$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

现在让为次抽签后未抽签的牌数。$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

然后$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

我认为就是这样。

这是一些R代码来验证该理论。

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}