随机重叠间隔

如何在以下问题中找到解析表达式？ $D(n,l,L)$

我将长度为 “小节” 随机放入间隔。“条”可以重叠。我想找到间隔的平均总长度，该平均长度至少被一个“小节”占据。 $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

在“低密度”限制中，重叠应该可以忽略，并且。在“高密度”的限制，接近。但是如何获得的一般表达式？那应该是一个非常基本的统计问题，但是我在论坛上找不到解释性的解决方案。 $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

任何帮助将不胜感激。

请注意，这些小节彼此之间是真正随机（统计独立）的。

probability distributions

— 丹尼尔
source

这是课程或教科书中的问题吗？如果是这样，请添加[self-study]标签并阅读其wiki。

— gung-恢复莫妮卡

不，这不对。您可以使用计算机通过采样轻松地计算出平均占用长度，但问题似乎是必须有一种理论方法来解决这一问题。由于所有尝试都失败了，所以我只是对如何做感到好奇。

— 丹尼尔（Daniel）

您如何将钢筋“滴”到[0，L]上？他们有可能伸出边缘吗？编辑：您的绘图和答案表明它是。

— 阿德里安

发现概率

给定的

不被覆盖-它是一个交叉点

IID事件。一个的接料长度未覆盖部分是简单地

。

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

中的点被单个下降条占据的概率为 $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

。 $x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

相应地，空的概率为。在条下降的小节之后给定点仍然为空的概率为 $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ ，被占据为 $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

大。 $n$

然后，平均占用长度为在随机的“条形下降”之后为 $[x_0,x_0 + L]$ $n$

。 $\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$

— 丹尼尔
source

您走在正确的道路上，但是有迹象表明可能需要更多的照顾。也许最重要的问题是，与任何两个点相关的事件都不是独立的：那么，乘以概率是什么呢？我也相信您对

的表达是不正确的。例如，考虑

。从图形中出现你假设栏的左侧端点对间隔的均匀分布

。结果是

的机会

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$ 覆盖是

1 / 2

$1/2$ ，不等于

。

l / L = 1

$l/L=1$

— ub

感谢您的提示。没错，我应该写过，随机的“图纸”之间应该具有零相关性。而且您也是对的，以上解决方案仅在不允许杠杠伸出时才有效。如果我们允许他们伸出来，该如何解决问题？

— 丹尼尔（Daniel）

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

我现在考虑了边界效应。我的意思是，间隔中两个不同点的占用是相关的，但是我看不到它将如何影响解决方案。

— 丹尼尔（Daniel）