标准正态随机变量的平方的Pdf [关闭]

我有这个问题，我必须找到的pdf $Y = X^2$ 。所有我知道的是， $X$ 具有分布 $N(0,1)$ 。是什么分布 $Y = X^2$ ？与相同 $X$ 吗？我如何找到pdf文件？

— 梅利77
source

的PDF

Y = X^{2}

$Y = X^2$ 不能是相同的

X

$X$ 如

Y

$Y$ 是将非负。

— JohnK

好吧，我正在参加考试，所以不是，这不是作业。我正在尝试自己解决问题，但我无法解决这一问题

— Melye77 '16

请添加[self-study]标签并阅读其 Wiki。然后告诉我们您到目前为止所了解的内容，尝试过的内容以及遇到的困难。我们将提供提示，以帮助您避免卡住。

— gung-恢复莫妮卡

如果您正在寻找此特定问题的直接答案，请注意，诸如此类的常规“书本式”问题应带有self-study标签（并且您应阅读其标签Wiki并修改您的问题，以遵循提出此类问题的指导原则问题-您需要清楚地确定自己为解决问题所采取的措施，并指出遇到困难时需要的具体帮助）。... ctd

— Glen_b-莫妮卡（Monica）还原

ctd ...另一方面，如果您正在寻找此类通用问题的答案（例如“如何获取转换后的随机变量的pdf？”），那将是一个非常好的问题，已经在站点上回答了几次

— Glen_b-恢复莫妮卡

您偶然发现了概率论和统计学最著名的结果之一。我会写一个答案，尽管我可以肯定已经在这个站点上问过（并回答过）这个问题。

首先，注意的PDF $Y = X^2$ 不能是相同的 $X$ 为 $Y$ 将是负数。为了得出 $Y$ 的分布，我们可以使用三种方法，即mgf技术，cdf技术和密度转换技术。让我们开始。

矩产生函数技术。

或特色功能技术，随您喜欢。我们必须找到 $Y=X^2$ 的mgf 。所以我们需要计算期望值

E [e^{t X^{2}}]

$E\left[e^{tX^2}\right]$

$X$

\begin{aligned} E [e^{t X^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{t x^{2}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}}{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = {(1 - 2 t)}^{- 1 / 2}, t < \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$

在最后一行，我们将积分与均值为零且方差为的高斯积分进行了比较 $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ $\alpha = \frac{r}{2}$ $r$ $\beta = 2$

CDF技术

这也许是您最容易做的事情，Glen_b在评论中建议这样做。根据这种技术，我们计算

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (| X | \leq \sqrt{y})

$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$

$y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) = P (| X | \leq \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$

$\Phi(.)$ $y$

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (- \sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y})

$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$

$\phi(.)$

f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$

我们将其识别为具有一个自由度的卡方分布的pdf（您现在可能正在看到一种模式）。

密度转换技术

$Y = g(X)$ $Y$

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

$y$ $g$ $X$ $Y$ $g$

$X$ $Y= g(X)$ $g$ $Y$

f_{Y} (y) = \sum | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

总和遍历所有反函数。这个例子将使它清楚。

$y = x^2$ $x = \pm \sqrt{y}$ $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$

具有一个自由度的卡方分布的pdf。附带说明，我发现该技术特别有用，因为您不再需要导出转换的CDF。但是，这些当然是个人喜好。

因此，您可以今晚上床，完全保证标准正态随机变量的平方遵循具有一个自由度的卡方分布。

— 约翰·克
source

我们通常不提供自学问题的完整答案，而仅提供提示。OP未添加标签或未尝试遵守我们的政策，因此该线程应关闭。您可以在这里找到有关自学问题的政策。

— gung-恢复莫妮卡

@gung我确信OP可以在任何地方找到答案，这并不是开创性的:)

— JohnK

对于自学问题，这几乎总是正确的。但是，我们通常不会为人们提供家庭作业的完整答案，而只是提示帮助他们自己解决。

— gung-恢复莫妮卡

f_{Y} (y) = \frac{1}{2} F_{Y}^{'}

$f_Y(y) = \frac{1}{2}F_Y^{\prime}$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} P (- y ⩽ Y ⩽ y) = f_{Y} (y) - (- f_{Y} (y)) = 2 \cdot f_{Y} (y)

$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) = f_Y(y)-(-f_Y(y))= 2\cdot f_Y(y)$