尽管一个变量是其他变量的线性组合，但是为什么这种回归不会由于完美的多重共线性而失败？

今天，我正在研究一个小的数据集，并执行了一个简单的OLS回归，由于完美的多重共线性，我预计会失败。但是，事实并非如此。这意味着我对多重共线性的理解是错误的。

我的问题是：我哪里错了？

我认为我可以证明我的一个变量是其他变量的线性组合。这将导致没有完整等级的回归矩阵，因此不应识别系数。

我生成了一个小的可复制数据集（下面的代码）：

   exporter importer      flow     dist intraUS
1    Canada   Canada  996.8677 6.367287       0
2   Florida   Canada  995.8219 9.190562       0
3     Texas   Canada 1001.6475 4.359063       0
4    Mexico   Canada 1002.4371 7.476649       0
5    Canada  Florida 1002.8789 5.389223       0
6   Florida  Florida 1007.5589 6.779686       1
7     Texas  Florida  996.8938 1.570600       1
8    Mexico  Florida 1005.6247 5.910133       0
9    Canada    Texas  999.9190 7.887672       0
10  Florida    Texas 1004.1061 7.187803       1
11    Texas    Texas 1004.5949 7.564273       1
12   Mexico    Texas 1000.3728 2.021297       0
13   Canada   Mexico 1003.0991 5.887743       0
14  Florida   Mexico  999.2210 3.058495       0
15    Texas   Mexico  997.6092 6.835883       0
16   Mexico   Mexico 1006.7934 5.794425       0

每次出口商和进口商都是美国州时，假货intraUS为1。

现在我执行（贸易）回归flowS ON exporter和importer假人，distANCE和intraUS虚拟。使用以下公式lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)为R馈送所有系数的估计值，没有缺失值或有关奇异的警告：

(Intercept)            dist exporterFlorida   exporterTexas  exporterMexico importerFlorida   importerTexas  importerMexico        intraUS1 
995.1033157       0.5744661      -1.2340338      -1.8792073       3.7375783       3.0361727       1.3256032       3.3225512       4.2429599

这让我为难，因为回归矩阵清楚地表明，intraUS是的线性组合exporterFlorida，importerFlorida，exporterTexas和importerTexas：

> mmat <- data.frame(model.matrix(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)))

   X.Intercept.     dist exporterFlorida exporterTexas exporterMexico importerFlorida importerTexas importerMexico intraUS1
1             1 6.367287               0             0              0               0             0              0        0
2             1 9.190562               1             0              0               0             0              0        0
3             1 4.359063               0             1              0               0             0              0        0
4             1 7.476649               0             0              1               0             0              0        0
5             1 5.389223               0             0              0               1             0              0        0
6             1 6.779686               1             0              0               1             0              0        1
7             1 1.570600               0             1              0               1             0              0        1
8             1 5.910133               0             0              1               1             0              0        0
9             1 7.887672               0             0              0               0             1              0        0
10            1 7.187803               1             0              0               0             1              0        1
11            1 7.564273               0             1              0               0             1              0        1
12            1 2.021297               0             0              1               0             1              0        0
13            1 5.887743               0             0              0               0             0              1        0
14            1 3.058495               1             0              0               0             0              1        0
15            1 6.835883               0             1              0               0             0              1        0
16            1 5.794425               0             0              1               0             0              1        0

计算exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas + exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexas得出-毫不奇怪-准确地表示中的值intraUS1。

所以我的问题再次是：鉴于一个变量是其他变量的线性组合，为什么这种回归不会失败？

在完整代码下面重现估计：

## Generate data ####

set.seed(1)
states <- c("Canada", "Florida", "Texas", "Mexico")
dat <- expand.grid(states, states)
colnames(dat) <- c("exporter", "importer")

dat[, "flow"] <- NA
dat[, "dist"] <- NA
dat[, "intraUS"] <- 0

for (i in 1:nrow(dat)) {
  dat[i, c("flow", "dist")] <- c(rnorm(1, mean = 1000, sd = 5), rnorm(1, mean = 6, sd = 2))
  if (dat[i, "exporter"] %in% states[2:3] && dat[i, "importer"] %in% states[2:3]) {
    dat[i, "intraUS"] <- 1
  }
}
dat$intraUS <- factor(dat$intraUS)

## Run regression - works! ####

summary(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat))

## Show that "intraUS1" is a linear combination of the dummies. ####

mmat <- data.frame(model.matrix(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)))

cbind(mmat, test = with(mmat,
                        exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas +
                        exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexas
                        ))[, c("intraUS1", "test")]

exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas + exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexas

这是不的线性组合exporterFlorida，importerFlorida，importerTexas和exporterTexas。在线性组合中，向量的系数必须为常数。所以像

2*importerFlorida + 3*importerTexas - exporterFlorida - 2*exporterTexas

是线性组合。

您所拥有的可能被称为二次组合，但这将术语扩展为“我正在制造东西”领域。