Dirac的delta函数是否应被视为高斯分布的子类？

在Wikidata中，可以将本体中的概率分布（像其他所有事物一样）联系起来，例如，t分布是非中心t分布的子类，请参见，例如，

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

存在多种限制情况，例如，当t分布中的自由度变为无穷大时，或者当正态分布（高斯分布）的方差接近零时。在后一种情况下，分布将​​趋向于Dirac的delta函数。

我注意到，在英语Wikipedia上，方差参数当前被表示为大于零，因此严格解释下，人们不会说Dirac的delta函数是正态分布的子类。但是，对我来说似乎还可以，因为我要说指数分布是狄拉克三角函数的超类。

说明Dirac的delta函数是高斯分布的子类是否有问题？

狄拉克三角洲在方便时被视为高斯分布，而在这种观点要求我们作例外的情况下，则不会被视为高斯分布。

例如，如果对于所有实数选择，是高斯随机变量，则说享有 多元高斯分布。（注意：这是“高级”统计信息中的标准定义）。由于一个选择是，因此标准定义将常数（退化的随机变量）视为高斯随机变量（均值和方差）。另一方面，当我们考虑类似的东西时，我们会忽略对狄拉克三角洲作为高斯分布的看法∑ i a i X i a 1，a 2，… ，a n a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 0 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

“具有标准偏差的零均值高斯随机变量的累积概率分布函数（CDF）为 ，其中是标准高斯随机变量的CDF。”˚F X（X ）= P { X ≤ X } = Φ （$\sigma$Φ（⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

请注意， 如果我们将狄拉克增量（Dirac delta）视为零均值高斯随机变量序列的极限情况（其标准偏差接近，因此是高斯随机变量），则该说法几乎是正确的，但并不完全正确。的狄拉克δ的CDF具有值为而$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ 但是，很多人会告诉您，将狄拉克三角洲视为高斯分布完全是胡说八道，因为他们的书说高斯随机变量的方差必须为正数（其中有些人会投票反对该答案以表明他们的不满）。几年前在stats.SE上对这一点进行了非常激烈而富有启发性的讨论，但不幸的是，这仅是在答案的评论中（我相信@Macro），而不是作为单独的答案，我无法再次找到它。 。

增量函数适合于分布的数学理论（这与概率分布的理论截然不同，此处的术语不会造成更多混淆）。

本质上，分布是广义函数。不能像函数一样对它们进行评估，但是可以对其进行集成。更准确地说，分布定义如下$D$

令为测试函数的集合。测试功能是真实，诚实的功能，流畅，支持紧凑。分布是线性映射θ d ：Ť → $T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

诚实函数由积分运算符确定分布$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

有些分布与真实函数不相关，狄拉克算子就是其中之一

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

从这个意义上讲，您可以将狄拉克视为正态分布的一种极限情况。如果是均值为零且方差为的正态分布的pdf族，则对于任何检验函数吨$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

这可能更常见地表示为

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

数学家会认为这是滥用符号，因为表达式实际上没有任何意义。但是话又说回来，我是谁来批评狄拉克，他是最棒的。$\delta(x)$

当然，这是否使狄拉克族成为正态分布族的成员是一个文化问题。在这里，我只是给出一个理由，为什么要这样考虑。

不。它不是正态分布的子类。

我认为混淆来自狄拉克函数的一种表示。请记住，它的定义如下：

δ（X）=0，∀X≠

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

它被定义为整数，这很不错，但是有时您需要通过函数表示而不是整数来对其进行操作。因此，人们提出了各种各样的选择，其中之一看起来像是高斯密度：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

但是，这不是唯一的表示形式，例如：

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

因此，最好根据其整体定义来考虑Dirac函数，并将函数表示形式（例如高斯函数）视为方便的工具。

更新到@whuber的观点，一个更好的甚至更好的例子是狄拉克三角洲的这种表示：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

这看起来像拉普拉斯分布吗？难道我们不应该将狄拉克三角洲视为拉普拉斯分布的子类吗？