回归系数的倒数分布

假设我们有一个线性模型 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ 符合所有标准回归（Gauss-Markov）假设。我们有兴趣 $\theta = 1/\beta_1$ 。

问题1：分配的必要条件是什么 $\hat{\theta}$ 定义清楚吗？ $\beta_1 \neq 0$ 会很重要-其他吗？

问题2：添加假设误差遵循正态分布。我们知道，如果 $\hat{\beta}_1$ 是MLE， $g(\cdot)$ 是单调函数，则 $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ 是MLE $g(\beta_1)$ 。单调性仅在 $\beta_1$ ？换句话说，是 $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$ MLE？连续映射定理至少告诉我们该参数是一致的。

问题3： Delta方法和自举程序是否都是寻找分布的合适方法？ $\hat{\theta}$ ？

问题4：这些答案如何更改参数 $\gamma = \beta_0 / \beta_1$ ？

旁白：我们可能会考虑重新布置问题以解决

\begin{aligned} x_{i} & = \frac{β_{0}}{β_{1}} + \frac{1}{β_{1}} y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \\ = γ + θ y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$ 直接估算参数。这对我似乎不起作用，因为高斯-马尔可夫假设在这里不再有意义。我们不能谈论

E [ϵ ∣ y]

$\text{E}[\epsilon \mid y]$ ，例如。这种解释正确吗？

— 查理
source

“标准”假设是否包括

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ 或不？

— whuber

好点子; 我将该假设添加到有关MLE的部分中。但是，对于其他人则没有必要。

— 查理

的抽样分布

β_{1}

$\beta_1$ 是正常的

θ

$\theta$ 是法线的倒数。这是双峰式，具有均值（无限大），无论

β_{1}

$\beta_1$ 可能是0，并且在0处是无限平坦的。因此Delta方法将很糟糕，通常的渐近MLE近似值将很差，甚至可能会怀疑自举。

— whuber

@whuber，您能谈谈吗？我的直觉没有看到法线的倒数应该是双峰的。我的猜测是，所有质量都将等于法线平均值的倒数（在这里，

1 / {\hat{β}}_{1}

$1/\hat{\beta}_1$ ）。由于质量接近于0，我担心无限的平均可能性。引导和渐近结果要求存在估计的矩，因此，这最终取决于此问题。

— 查理

相互法线的PDF为

\exp (- (1 / x - μ)^{2} / (2 σ^{2})) / (\sqrt{2 π} x^{2} σ) d x

$\exp(-(1/x-\mu)^2/(2\sigma^2))/(\sqrt{2\pi}x^2\sigma)dx$ 。在0时，所有导数等于0；找到其对数的临界点可确定正负模式（易于计算为

σ

$\sigma$ 和

μ / σ

$\mu/\sigma$ ）; 的积分

| x |

$|x|$ 像

| x | / x^{2} = 1 / | x |

$|x|/x^2=1/|x|$ 。初始矩无限的问题与任何随机变量的倒数相关，该随机变量的正概率密度为0（包括所有法线）。

— ub

Q1。如果 $\hat\beta_1$ 是的MLE $\beta_1$ ，然后 $\hat\theta$ 是的MLE $\theta$ 和 $\beta_1 \neq 0$ 是使此估算器得到明确定义的充分条件。

Q2。 $\hat\theta = 1/\hat\beta$ 是的MLE $\theta$ 通过MLE的不变性。另外，您不需要单调性 $g$ 如果您不需要获取它的逆。只需要 $g$ 在每个点上都有明确的定义。您可以在Nitis Mukhopadhyay撰写的“概率与统计推断” 定理7.2.1 pp。350中进行检查。

Q3。是的，您可以同时使用这两种方法，我还将检查 $\theta$ 。

Q4。在这里，您可以根据感兴趣的参数重新参数化模型 $(\theta,\gamma)$ 。例如， $\gamma$ 是 $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$ 并且您可以照常计算该参数或其引导分布的轮廓可能性。

您最后提到的方法是不正确的，实际上您正在考虑可以在文献中查看的“校准模型”。您唯一需要做的就是根据感兴趣的参数重新设置参数。

我希望这有帮助。

亲切的问候。

— XMX
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感谢您的回复。我没有您要引用的书，但通常这些属性要求存在估计的时刻。我不确定法线的倒数是否具有必要的时刻。我应该在我的问题中阐明这一点。

— 查理