如何平滑数据并强制单调性

我有一些要平滑的数据，以使平滑点单调递减。我的数据急剧下降，然后开始稳定。这是使用R的示例

df <- data.frame(x=1:10, y=c(100,41,22,10,6,7,2,1,3,1))
ggplot(df, aes(x=x, y=y))+geom_line()

我可以使用什么好的平滑技术？另外，如果我可以强制第一个平滑点接近观察点，那就太好了。

您可以通过mgcv软件包中的mono.con()和pcls()函数使用具有单调性约束的惩罚样条曲线来执行此操作。之所以要摆弄些麻烦，是因为这些功能的用户友好性不如gam()，但是下面所示的步骤主要是根据的示例进行了?pcls修改，以适应您提供的示例数据：

df <- data.frame(x=1:10, y=c(100,41,22,10,6,7,2,1,3,1))

## Set up the size of the basis functions/number of knots
k <- 5
## This fits the unconstrained model but gets us smoothness parameters that
## that we will need later
unc <- gam(y ~ s(x, k = k, bs = "cr"), data = df)

## This creates the cubic spline basis functions of `x`
## It returns an object containing the penalty matrix for the spline
## among other things; see ?smooth.construct for description of each
## element in the returned object
sm <- smoothCon(s(x, k = k, bs = "cr"), df, knots = NULL)[[1]]

## This gets the constraint matrix and constraint vector that imposes
## linear constraints to enforce montonicity on a cubic regression spline
## the key thing you need to change is `up`.
## `up = TRUE` == increasing function
## `up = FALSE` == decreasing function (as per your example)
## `xp` is a vector of knot locations that we get back from smoothCon
F <- mono.con(sm$xp, up = FALSE)   # get constraints: up = FALSE == Decreasing constraint!

现在我们需要填写传递给的对象，pcls()其中包含我们要拟合的受约束模型的详细信息

## Fill in G, the object pcsl needs to fit; this is just what `pcls` says it needs:
## X is the model matrix (of the basis functions)
## C is the identifiability constraints - no constraints needed here
##   for the single smooth
## sp are the smoothness parameters from the unconstrained GAM
## p/xp are the knot locations again, but negated for a decreasing function
## y is the response data
## w are weights and this is fancy code for a vector of 1s of length(y)
G <- list(X = sm$X, C = matrix(0,0,0), sp = unc$sp,
          p = -sm$xp, # note the - here! This is for decreasing fits!
      y = df$y,
          w = df$y*0+1)
G$Ain <- F$A    # the monotonicity constraint matrix
G$bin <- F$b    # the monotonicity constraint vector, both from mono.con
G$S <- sm$S     # the penalty matrix for the cubic spline
G$off <- 0      # location of offsets in the penalty matrix

现在我们终于可以进行拟合了

## Do the constrained fit 
p <- pcls(G)  # fit spline (using s.p. from unconstrained fit)

p包含对应于样条曲线的基函数的系数向量。为了可视化拟合的样条曲线，我们可以根据模型在x范围内的100个位置进行预测。我们执行100个值，以便在绘图上获得一条漂亮的平滑线。

## predict at 100 locations over range of x - get a smooth line on the plot
newx <- with(df, data.frame(x = seq(min(x), max(x), length = 100)))

为了生成预测值，我们使用Predict.matrix()，它会生成一个矩阵，使得当乘以系数时，会p从拟合模型中得出预测值：

fv <- Predict.matrix(sm, newx) %*% p
newx <- transform(newx, yhat = fv[,1])

plot(y ~ x, data = df, pch = 16)
lines(yhat ~ x, data = newx, col = "red")

这将产生：

我将由您自己决定，以使数据成为整齐的表格，以便使用ggplot进行绘图...

您可以通过增加的基函数的维数来强制进行更紧密的拟合（以部分回答有关使第一个数据点更平滑地拟合的问题）x。例如，设置k等于8（k <- 8）并重新运行上面的代码，我们得到

您不能将k这些数据推得更高，而且必须注意过度拟合。pcls()在给定约束和所提供的基础函数的情况下，所有要做的就是解决惩罚最小二乘问题，它不是在为您执行平滑度选择-这不是我所知道的...）

如果要进行插值，请参阅基本R函数?splinefun，该函数具有Hermite样条和具有单调约束的三次样条。但是，在这种情况下，由于数据并非严格单调，因此无法使用它。

Natalya Pya最近的欺诈软件包，并基于Pya＆Wood（2015）的论文“ Shape constrainedadditives model”，可以使加文出色答案中提到的过程变得更加容易。

library(scam)
con <- scam(y ~ s(x, k = k, bs = "mpd"), data = df)
plot(con)

您可以使用许多bs函数-在上面，我将mpd用于“单调递减的P样条曲线”，但它也具有单独或与单调约束一起实施凸面或凹面的功能。