如何使Weibull分布适合包含零的输入数据？

我正在尝试重现由退休研究员传承的现有预测算法。第一步是将一些观察到的数据拟合为威布尔分布，以获得将用于预测未来值的形状和比例。我正在用R做到这一点。这是我的代码示例：

x<-c(23,19,37,38,40,36,172,48,113,90,54,104,90,54,157,51,77,78,144,34,29,45,16,15,37,218,170,44,121)
f<-fitdistr(x, 'weibull')

除非输入数组中有任何零，否则它将完全失败，这可以正常工作。SAS中也会发生同样的事情。据我了解，这是因为计算Weibull分布的步骤之一是采用自然对数，该自然对数未定义为0。是否有合理的方法来解决此问题？

到目前为止，我发现最好的方法是在所有输入值中加1，拟合曲线，然后从预测值中减去1（“上移”曲线，然后下移1）。这非常适合先前预测的数据，但是这样做似乎是错误的方法。

编辑：输入数组中的值是多年来观察到的真实数据（某物的出现次数）。因此，在某些年份中发生的次数为零。不管这是不是最好的方法（我同意可能不是），原始算法作者声称已经使用了Weibull分布，并且我不得不尝试复制他们的过程。

（正如其他人指出的那样，当数据仅是整数时，Weibull分布不太可能是合适的近似值。以下内容仅用于帮助您确定以前的研究人员是对还是错。

有几种不受数据零影响的替代方法，例如使用各种矩量估计器。这些通常需要涉及伽马函数的方程的数值解，因为威布尔分布的矩是根据该函数给出的。我不熟悉R，但是这里有一个Sage程序，它说明了一种更简单的方法-也许它可以适应R？（您可以在Horst Rinne撰写的“ Weibull发行：一本手册”，第455ff页中阅读有关此方法和其他此类方法的信息；但是，他的等式12.4b中有一个错字，即“ -1”是多余的）。

"""
Blischke-Scheuer method-of-moments estimation of (a,b)
for the Weibull distribution F(t) = 1 - exp(-(t/a)^b)
""" 

x = [23,19,37,38,40,36,172,48,113,90,54,104,90,54,157,
      51,77,78,144,34,29,45,16,15,37,218,170,44,121]
xbar = mean(x)
varx = variance(x)
var("b"); f(b) = gamma(1+2/b)/gamma(1+1/b)^2 - 1 - varx/xbar^2
bhat = find_root(f, 0.01, 100)
ahat = xbar/gamma(1+1/bhat)
print "Estimates: (ahat, bhat) = ", (ahat, bhat)

这产生了输出

Estimates: (ahat, bhat) =  (81.316784310814455, 1.3811394719075942)

x = [23,0,37,38,40,36,172,48,113,90,54,104,90,54,157,
      51,77,78,144,34,29,45,0,0,37,218,170,44,121]

然后相同的过程产生输出

Estimates: (ahat, bhat) =  (78.479354097488923, 1.2938352346035282)

fit_weibull <- function(x)
{
    xbar <- mean(x)
    varx <- var(x)
    f <- function(b){return(gamma(1+2/b)/gamma(1+1/b)^2 - 1 - varx/xbar^2)}
    bhat <- uniroot(f,c(0.02,50))$root
    ahat <- xbar/gamma(1+1/bhat)
    return(c(ahat,bhat))
}

这重现了上述两个Sage示例（至五个有效数字）：

x <- c(23,19,37,38,40,36,172,48,113,90,54,104,90,54,157,
     51,77,78,144,34,29,45,16,15,37,218,170,44,121)
fit_weibull(x)
[1] 81.316840  1.381145

x <- c(23,0,37,38,40,36,172,48,113,90,54,104,90,54,157,
      51,77,78,144,34,29,45,0,0,37,218,170,44,121)
fit_weibull(x)
[1] 78.479180  1.293821

$\theta$fitdistr$\theta$$\theta$fitdistr

foo <- function(theta, x)
{
  if (theta <= -min(x)) return(Inf);
  f <- fitdistr(x+theta, 'weibull')
  -2*f$loglik
}

然后使用一维优化最小化此函数：

bar <- optimize(foo, lower=-min(x)+0.001, upper=-min(x)+10, x=x)

我刚刚什么都没补上“ +10”。

对于将三个最小值替换为零的数据，我们得到：

> bar
$minimum
[1] 2.878442

$objective
[1] 306.2792

> fitdistr(x+bar$minimum, 'weibull')
     shape        scale   
   1.2836432   81.1678283 
 ( 0.1918654) (12.3101211)
> 

bar$minimum$\theta$fitdistr$\theta$

它应该失败，您应该感谢它失败了。

您的观察结果表明，故障是在您开始观察故障的那一刻发生的。如果这是一个真实的过程，来自真实的（而不是模拟的数据），则需要以某种方式解释为什么得到零的原因。我见过生存研究，其中由于以下几种原因之一而出现0次：

1. 数据实际上被截断了：在研究开始之前，对象有危险并且发生了故障，您想假装一直观察到它们。
2. 仪器校准不良：您的测量精度不足以进行研究，因此在开始时间附近发生的故障被编码为恰好为零。
3. 编码为零的事物不是零。他们是被一种或另一种方式排除在分析之外的人或物体。由于合并，排序或以其他方式重新编码缺失值，因此数据中仅显示零。

因此，对于情况1：即使需要追溯提取记录，也需要使用适当的检查方法。情况2意味着您可以使用EM算法，因为您存在精度问题。贝叶斯方法在这里也类似地工作。情况3意味着您只需要排除应该丢失的值。

我同意上述枢机主教的回答。但是，添加常量以避免零也是很常见的。另一个常用的值为0.5，但是可能使用了任何正常数。您可以尝试一系列值，以查看是否可以确定以前的研究人员使用的确切值。然后，您可以确信，在继续寻找更好的发行版本之前，您可以复制他的结果。

[假设使用Weibull是合适的] Johnson Kotz和Balakrishnan的书中有很多估算Weibull参数的方法。其中一些不依赖于不包括零的数据（例如，使用均值和标准差，或使用某些百分位数）。

约翰逊（NL），科兹（S. Kotz）和新北巴拉克拉南（Balakrishnan）（1994）。连续单变量分布。纽约：威利，大约在632页。