随着尺寸增加，正态分布的密度

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我要问的问题是：正态分布均值的1个标准差内的样本比例如何随着变量数量的增加而变化？

（几乎）所有人都知道，在一维正态分布中，可以在平均值的1个标准偏差内找到68％的样本。那么在2、3、4，...尺寸上呢？我知道它变少了……但是多少（精确地）呢？拥有一张显示1、2、3 ... 10尺寸以及1、2、3 ... 10 SD尺寸的数字的表格会很方便。谁能指出这样的桌子？

还有一点背景-我有一个传感器，可以提供多达128个通道的数据。每个通道都受到（独立）电噪声的影响。当我感觉到校准对象时，我可以对足够多的测量求平均值，并获得128个通道的平均值以及128个单独的标准偏差。

但是...就单个瞬时读数而言，数据的响应不像128个单个读数那样，而是像一个（最多）128维矢量量的单个读数一样。当然，这是处理我们获取的一些关键读数的最佳方法（通常是128个中的4-6个）。

我想了解一下此向量空间中的什么是“正常”变化以及什么是“离群值”。我确定我已经见过一张我所描述的表格，该表格适用于这种情况-有人可以指向一张吗？

normal-distribution multivariate-analysis

— 奥马太
source

请-我只能凭经验回答-我不理解大多数数学符号。

— omatai 2011年

Answers:

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让我们 $X = (X_1,\dots,X_d) \sim N(0,I)$ ：每个 $X_i$ 是正常的 $N(0,1)$ 和 $X_i$ 是独立的-我想这就是你的意思更高的维度是什么。

当时，您会说 $X$ 在平均值的1 sd之内 $||X|| < 1$ （X与平均值之间的距离小于1）。现在 $||X||^2 = X_1^2 +\cdots+X_d^2\sim \chi^2(d)$ ，从而发生这种情况的概率为 $P( \xi < 1 )$ ，其中 $\xi\sim\chi^2(d)$ 。您可以在优质的卡方桌上找到这个...

以下是一些值：

\begin{array}{ll} d & P (ξ < 1) \\ 1 & 0.68 \\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018 \\ 9 & 0.00056 \\ 10 & 0.00017 \end{array}

$\begin{array}{ll} d& P(\xi < 1)\\ 1 & 0.68\\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018\\ 9 & 0.00056\\ 10& 0.00017\\ \end{array}$

而对于2 SD：

\begin{array}{ll} d & P (ξ < 4) \\ 1 & 0.95 \\ 2 & 0.86 \\ 3 & 0.74 \\ 4 & 0.59 \\ 5 & 0.45 \\ 6 & 0.32 \\ 7 & 0.22 \\ 8 & 0.14 \\ 9 & 0.089 \\ 10 & 0.053 \end{array}

$\begin{array}{ll} d & P(\xi < 4)\\ 1 & 0.95\\ 2 & 0.86\\ 3 & 0.74\\ 4 & 0.59\\ 5 & 0.45\\ 6 & 0.32\\ 7 & 0.22\\ 8 & 0.14\\ 9 & 0.089\\ 10 & 0.053\\ \end{array}$

在R中可以获取这些值与像commads pchisq(1,df=1:10)，pchisq(4,df=1:10)等等。

枢纽后书正如枢机主教在评论中指出的那样，人们可以估计这些概率的渐近行为。一个的CDF 的变量是 $\chi^2(d)$ 其中，是不完全 -function，和classicaly。

F_{d} (x) = P (d / 2, x / 2) = \frac{γ (d / 2, x / 2)}{Γ (d / 2)}

$F_d(x) = P(d/2,x/2) = {\gamma(d/2, x/2) \over \Gamma(d/2)}$

γ (s, y) = \int_{0}^{y} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\gamma(s,y) = \int_0^y t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

γ

$\gamma$

Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

当是一个整数，通过重复显示零件整合该 $s$ 这是泊松分布CDF的尾部。

P (s, y) = e^{- y} \sum_{k = s}^{\infty} \frac{y^{k}}{k!},

$P(s,y) = e^{-y} \sum_{k=s}^\infty {y^k \over k!},$

（非常感谢基数）现在这笔款项是由它的第一项为主：代表大。我们可以应用此当是偶数： $P(s,y) \sim {y^s \over s!} e^{-y}$ $s$ $d$ 对于大偶数，使用斯特林公式倒数第二个等价。从这个公式我们可以看到，随着增加，渐近衰减非常快。

P (ξ < x) = P (d / 2, x / 2) \sim \frac{1}{(d / 2)!} {(\frac{x}{2})}^{d / 2} e^{- x / 2} \sim \frac{1}{\sqrt{π d}} e^{\frac{1}{2} (d - x)} {(\frac{x}{d})}^{\frac{d}{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{1}{2} x} d^{- \frac{1}{2} d},

$P(\xi < x) = P(d/2,x/2) \sim {1 \over (d/2)!} \left({x\over 2}\right)^{d/2} e^{-x/2} \sim {1\over\sqrt{\pi d}}e^{{1\over 2}(d-x)} \left({x\over d}\right)^{d\over 2} \sim {1\over\sqrt\pi} e^{-{1\over 2}x} d^{-{1\over 2}d},$

d

$d$

d

$d$

— 猫王
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欢迎来到我们的猫王网站！好答案。（+1）

— whuber

1

ξ

$\xi$

d

$d$

谢谢您的意见。我认为这个答案不会引起太多关注！的确，这是维数诅咒的一种好形式... @cardinal（3）当第一个参数变为无穷大，第二个参数固定时，我不知道不完全伽马函数的任何渐近等价形式不简单！可以进行大致的专业划分，我可能稍后再写。

— 猫王

2

d

$d$

d = 2 k

$d = 2 k$

Z_{i} = X_{2 i - 1}^{2} + X_{2 i}^{2}

$Z_i = X_{2i-1}^2 + X_{2i}^2$ 是一个

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$ 随机变量。所以

‖ X ‖^{2} = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}

$\|X\|^2 = \sum_{i=1}^k Z_i$ 。但是之后

‖ X ‖^{2}

$\|X\|^2$ 只是直到

k

$k$ 泊松过程的更新，速率为1/2。所以

P (‖ X ‖^{2} < 1) = P (N_{1 / 2} (0, 1) \geq k) = e^{- 1 / 2} \sum_{x = k}^{\infty} 2^{- x} / x!

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) = \mathbb P( N_{1/2}(0,1) \geq k) = e^{-1/2} \sum_{x=k}^\infty 2^{-x}/x!$ . The tail of the Poisson is dominated by the leading term, so

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1)

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1)$ as

d \to \infty

$d\to\infty$ (Again:

k = d / 2

$k = d/2$ ).

— cardinal

1

Part of the point of the foregoing comment is that we get an exact answer for all even

d

$d$ . Also, using Stirling's approximation, we get that

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1) \sim e^{(d - 1) / 2} d^{- (d + 1) / 2} / \sqrt{π}

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1) \sim e^{(d-1)/2} d^{-(d+1)/2} / \sqrt{\pi}$ .

— cardinal

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