此发行版有名称吗？

23

今天我想到，分布可以看作是高斯和拉普拉斯之间的折衷分布，对于和这样的分布有名称吗？它是否有一个标准化常数的表达式？结石树桩我，因为我不知道如何甚至开始求解在积分

f (x) \propto \exp （ - \frac{| X - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d X

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax说恢复莫妮卡
source

34

简短答案

您描述的pdf最适合称为Subbotin发行版...请参阅Subbotin在1923年发表的论文，该论文具有完全相同的功能形式，即。 $Y = X-\mu$

Subbotin，MT（1923），关于错误频率定律，Matematicheskii Sbornik，31，296-301。

以等式5输入pdf的形式：

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

积分常数：，按照冼的推导，其中 $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

更长的答案

不幸的是，维基百科并不总是“最新的”，准确的，有时甚至落后于时代80年。在Subbotin（1923）之后，该分布已在文献中得到广泛使用，包括：

Diananda，PH（1949年），《关于最大似然估计的某些性质的说明》，《剑桥哲学学会学报》，第45卷，第536-544页。
Turner，ME（1960），关于启发式估计方法，Biometrics，16（2），299-301。
Zeckhauser，R.和Thompson，M.（1970），带有非正态误差项的线性回归，《经济与统计评论》，第52卷，第280-286页。
McDonald，JB和Newey，WK（1988），通过广义t分布对回归模型进行部分自适应估计，《计量经济学理论》，第4卷，第428-457页。
约翰逊（NL），科兹（S. Kotz）和新罕布什尔州巴拉克里希南（Balakrishnan，N。）（1995年），《连续单变量分布》，第2卷，第2版，《威利：纽约》（1995年，第422页）
Mineo，AM和Ruggieri，M.（2005），用于指数分布的软件工具：normalp软件包，Journal of Statistics Software，12（4），1-21。

...在Wiki上引用该论文之前。除了已过时80年之外，Wiki“通用范式”上使用的名称似乎也不合适，因为存在分布的无穷种是范式的概括，而且无论如何该名称与文献均不明确。它还没有承认原始作者。

— 狼人
source

17

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
source

2

D'oh. Of course. And chance you happen to know if it has a name?

— Sycorax says Reinstate Monica

1

It is somewhat connected with the[ Weibull and Fréchet distributions](en.wikipedia.org/wiki/…), however those have a power term in front of the exponential. It is thus more of a Gaussian distribution for another metric that the quadratic distance.

— Xi'an

1

+1 It wouldn't be wrong to call this a "power Gamma" distribution.

— whuber

13

According to Wikipedia, this is known as Generalized normal distribution (version 1 in the article), and the restriction $p\in [1,2]$ is not required but any positive value is fine.

The reference given in Wikipedia is Saralees Nadarajah (2005) A generalized normal distribution, Journal of Applied Statistics, 32:7, 685-694, DOI: 10.1080/02664760500079464. This article mentions that the normalization constant is found by 'simple integration' - I presume following Xi'an's answer.

— Juho Kokkala
source