变量内方差和成对距离之间的链接

请证明，如果我们有两个变量（等于样本大小） $X$ 和 $Y$ 和方差在比大于，那么的平方差之内的数据点之间（即平方欧氏距离）也大于在内。 $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
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请说明：说方差是指样本方差吗？当您说平方差之和时，您的意思是

吗？

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— 主教

假设前面的：

通过仔细考虑交叉项中的元素。我想您可以填补这些空白。然后，结果微不足道。

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— 主教

考虑到如果

和

来自

（具有明确定义的方差），则

。但是，它要求对概率概念的把握要牢固一些。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— 主教

对于一个相关的问题，我在stats.stackexchange.com/a/18200的回复中使用了这里发生的情况的可视化效果：平方差是正方形的面积。

— whuber

@whuber：非常好。在某种程度上，我一直想念您的答案。

— 主教

只是提供一个“官方”答案，以补充评论中描述的解决方案，请注意

的无，，对于某一常数。因此，我们可以假定已经执行了这样的移位以使 $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ ，或由移位所有改变均匀地对于某一常数或移位所有 $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ 到，而且。 $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
从每一侧清除共同因素和使用（1）后，将问题要求表明意味着。 $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
平方的简单展开和和的重排给出的结果与相似。
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

证明是立即的。

— ub
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