变量内方差和成对距离之间的链接


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请证明,如果我们有两个变量(等于样本大小)XY方差在比大于,那么的平方差之内的数据点之间(即平方欧氏距离)也大于在内。Y X YXYXY


1
请说明:说方差是指样本方差吗?当您说平方差之和时,您的意思是吗?i,j(xixj)2
主教

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假设前面的:通过仔细考虑交叉项中的元素。我想您可以填补这些空白。然后,结果微不足道。
i,j(xixj)2=ij((xix¯)(xjx¯))2=2ni=1n(xix¯)2,
主教

2
考虑到如果X 2来自F(具有明确定义的方差),则EX 1 - X 2 2 = 2 V a rX 1。但是,它要求对概率概念的把握要牢固一些。X1X2FE(X1X2)2=2Var(X1)
主教

1
对于一个相关的问题,我在stats.stackexchange.com/a/18200的回复中使用了这里发生的情况的可视化效果:平方差是正方形的面积。
whuber

1
@whuber:非常好。在某种程度上,我一直想念您的答案。
主教

Answers:


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只是提供一个“官方”答案,以补充评论中描述的解决方案,请注意

  1. 的无无功Ý Σ - ν对于某一常数ν。因此,我们可以假定已经执行了这样的移位以使X i = Y i =Var((Xi))Var((Yi)),或 Σ Ĵ ÿ - Ÿ Ĵ 2由移位所有改变 X 均匀地 X -μ对于某一常数μ或移位所有 ÿi,j(XiXj)2i,j(YiYj)2XiXiμμ Y 0,而 Var X i= X 2 i Var Y i= Y 2 iYiYiννXi=Yi=0Var((Xi))=Xi2Var((Yi))=Yi2

  2. 从每一侧清除共同因素和使用(1)后,将问题要求表明意味着 Σ ĴX - X Ĵ 2Σ Ĵÿ - Y j 2Xi2Yi2i,j(XiXj)2i,j(YiYj)2

  3. 平方的简单展开和和的重排给出的结果与Y相似。

    i,j(XiXj)2=2Xi22(Xi)(Xj)=2Xi2=2Var((Xi))
    Y

证明是立即的。

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