在CLT中，为什么？

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令是来自均值和方差的分布的独立观测值，当，则 $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

为什么这意味着

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— 马瓦维利
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也许下面没有足够清楚地强调这一点，但是语句在数学上有意义，而语句在数学上是荒谬的，因此，俗话说，甚至没有错。

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— 难道

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您的解释有些不正确。中心极限定理（CLT）意味着

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

这是因为CLT是渐近结果，并且我们实际上只处理有限样本。但是，当样本量足够大时，我们假设CLT结果近似成立，因此

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

这是因为对于随机变量和常数，（在第二步中使用）和，（在倒数第二个步骤中使用）。 $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

阅读此内容以获取有关代数的更多解释。

— 格林帕克
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从的LHS 到RHS 的用语时，您能否阐明使用的是“代数” ？

\sim

$\sim$

— mavavilj

我已经弄清了代数。大部分使用方差和期望属性。

— Greenparker

为什么不EG的第二项成为？

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

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因为。直观地，将一个常数添加到随机变量不会改变其方差。

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker'3

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最简单的方法是查看随机变量的均值和方差。 $\bar X_n$

因此，表示平均值为零，方差为1。因此，我们的意思是： $\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$ 使用，其中是常数，我们得到：

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

现在，使用，其中为常量，我们得到以下为方差： $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

现在，我们知道的均值和方差，具有这些均值和方差的高斯分布（正态分布）为 $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

您可能想知道为什么要遍历所有这些代数？为什么不直接证明收敛到呢？ $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

原因是在数学中很难（不可能？）证明收敛于变化的事物，即收敛运算符的右边必须固定，以便数学家使用他们的技巧来证明陈述。所述的表达与变化，这是一个问题。因此，数学家以这样的方式变换表达式，即右手边是固定的，例如是一个很好的固定右手边。 $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— 阿克萨卡尔族
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除了作为近似值，它并不暗示的正态性。但是如果假装完全是标准正态，那么我们得到的结果是正态当 normal。一种查看方式是通过力矩生成函数 $\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

这是正常的 mgf $(\mu, \tau^2)$

— 达克斯顿
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为什么矩生成函数可以证明它的分布呢？

— mavavilj

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这是概率的结果。如果两个随机变量具有相同的矩生成函数，则它们的分布相等。

— dsaxton