估计无尖峰的截断高斯曲线的均值和标准差

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假设我有一个黑盒子，它按照均值m和标准差s的正态分布生成数据。但是，假设每当输出值<0时，它都不会记录任何内容（甚至无法说出它已经输出了这样的值）。我们有一个截断的高斯分布，没有峰值。

如何估算这些参数？

distributions estimation

我将标签从“截断的高斯”更改为“截断”，因为大多数答案在涉及其他分布的情况下可能很有用。

— ub

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您的数据模型为：

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

因此，密度函数为：

F （ ÿ_{一世} | - ） = \frac{Ë X p （ - \frac{（ ÿ_{一世} - μ ）^{2}}{2 σ^{2}} ）}{\sqrt{2 π σ} （ 1个 - ϕ （ - \frac{μ}{σ} ） ）}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

哪里，

是标准普通cdf。 $\phi(.)$

然后，您可以使用最大似然法或贝叶斯方法估计参数和。 $\mu$ $\sigma$

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正如Srikant Vadali所建议的那样，Cohen和Hald在1950年左右使用ML（使用Newton-Raphson根查找器）解决了这个问题。另一篇论文是Max Halperin的“截断正态分布中的估计”（适用于可访问者）。谷歌搜索“截断的高斯估计”会产生很多有用的命中。

在将这个问题概括化的线程中提供了详细信息（通常到截断的分布）。请参见截断分布的最大似然估计。比较最大似然估计量与R中的最大熵解算器给出的（具有代码）最大熵解可能也很有趣。

— ub
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$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

就这样...

— JFS
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