两种一级方程式资格赛格式的统计差异

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我刚刚读了这篇BBC文章，其中涉及一级方程式的排位赛格式。

组织者希望降低排位赛的可预测性，即增加结果的统计差异。在一些无关紧要的细节上，现在（根据具体情况）两次尝试按照最佳单圈对车手进行排名。

一位F1负责人让·托德（Jean Todt）提出，将驾驶员平均排名两圈会增加统计差异，因为驾驶员犯错的可能性可能是其两倍。其他资料认为，任何平均数肯定会减少统计差异。

我们可以说在合理的假设下谁是对的？我想它可以归结为与的相对方差，其中和是代表驾驶员两个圈速的随机变量？ $\text{mean}(x,y)$ $\text{min}(x,y)$ $x$ $y$

variance

— 悦诗风吟
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我认为这取决于单圈时间的分布。

令是独立的，均匀分布的。 $X,Y$

如果，则 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
但是，如果，则 $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

这与问题中提到的关于犯错误的论点是一致的（即，以极低的概率运行了很长的时间）。因此，我们必须知道单圈时间的分布才能决定。

— 桑德里斯
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有趣的是，我猜类似的东西也适用于连续的rv。先前的证明到底出了什么问题？

— innisfree，2016年

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据我了解，它认为在给定，与均值之间的距离始终小于与之间的距离，因此均值方差必须小于方差。但是，这并不遵循：可以始终保持很远，而平均值却相差很大。如果证明是基于实际计算的，则更容易查明出现错误的确切位置（或毕竟检查它是否有效）。

x \geq y

$x\geq y$

x

$x$

x

$x$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

— 桑德里斯，2013年

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在不失一般性的前提下，假设，并且两个变量均来自具有特定均值和方差的相同分布。 $y \leq x$

$\{y,x\}$ 对了改进， $\{x\}$

情况1，表示：， $\frac{y-x}{2}$

情况2，最小值：。 $y-x$

因此，均值对改善的影响（由方差驱动）比采取最小影响（2个试验）少一半。即，平均值抑制了可变性。

— 詹姆士
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我不认为这是正确的，请您提供正式的解释？

— sandris '16

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这是我对Var的证明[均值]

对于2个随机变量x，y，其均值与最大值和最小值之间存在关系。

因此

2 中号 Ë 一种 ñ （ X ， ÿ ） = 中号 一世 ñ （ X ， ÿ ） + 中号 一种 X （ X ， ÿ ）

$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$

如果现在我们假设分布是围绕均值对称的，则

然后

4 V 一种 [R [中号 Ë 一种 ñ] = V 一种 [R [中号 一世 ñ] + V 一种 [R [中号 一种 X] + 2 C Ø v [中号 一世 ñ ， 中号 一种 X]

$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$

V 一种 [R [中号 一世 ñ （ X ， ÿ ）] = V 一种 [R [中号 一种 X （ X ， ÿ ）]

$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$

和

因此，

4 V 一种 [R [中号 Ë 一种 ñ] = 2 V 一种 [R [中号 一世 ñ] + 2 C Ø v [中号 一世 ñ ， 中号 一种 X]

$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$

C Ø v [中号 一世 ñ ， 中号 一种 X] <= s q [R Ť （ V 一种 [R [中号 一世 ñ] V 一种 [R [中号 一种 X] ） = V 一种 [R [中号 一世 ñ]

$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$

这也很容易从这个推导地看到，以扭转该不等式你需要的负侧与所述分布的非常尖锐的截断分布均值。例如，对于指数分布，平均值具有比最小值更大的方差。

V 一种 [R [中号 Ë 一种 ñ] <= V 一种 [R [中号 一世 ñ]

$Var[Mean]<=Var[Min]$

— sega_sai
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好问题，谢谢！我同意@sandris的观点，即圈速的分配很重要，但我想强调指出，这个问题的因果关系需要解决。我的猜测是，F1希望避免在无聊的情况下，同一支球队或车手年复一年地在这项运动中占主导地位，他们特别希望引入（创收！）激动人心的真正可能性，即“热门”新车手可以在这项运动中突然兴起。

也就是说，我的猜测是，有些希望会破坏过分稳定的车队/车手排名。（将类比考虑为在模拟退火中提高温度。）然后问题就变成了，起作用的因果因素是什么，以及它们如何分布在所有驾驶员/团队中，以便为现有企业创造持久的优势。（考虑类似的问题，即征收高遗产税，以在整个社会中“公平地竞争”。）

$n$

另一方面，假设在所有团队中，发动机故障都是不可控制的事件，并且发生概率相同，并且当前排名正确地反映了驾驶员/团队质量在许多其他因素上的真实等级。在这种情况下，发动机故障的厄运必将是F1可以用来实现更大机会均等的唯一“平衡因素”-至少没有严厉的排名操纵会破坏“竞争”的面目。在这种情况下，严厉惩罚发动机故障的政策（在这种情况下，这是唯一的因素，在这种情况下唯一不能相对有利于运营商运行的因素）有望加剧排名的不稳定。在这种情况下，上述n项最佳策略将是错误的策略。

— 戴维·诺里斯
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我通常同意其他答案，即两次运行的平均值会有较小的方差，但我相信它们会遗漏问题背后的重要方面。很大程度上与车手如何应对规则以及他们的排位赛策略有关。

例如，只有一圈的资格，车手会更加保守，因此更容易预测和观看。两圈的想法是让车手有机会尝试获得“完美的一圈”，而另一个则可以保守行驶。多次运行会占用大量时间，这也可能很无聊。当前设置可能只是在最短时间内获得最多操作的“最佳位置”。

另请注意，采用平均方法时，驾驶员需要找到最快的可重复单圈时间。采用“最小”行驶方法时，驾驶员只需要尽可能快地行驶一圈，这可能会比平均行驶方式下的行驶速度更大。

该讨论更接近于博弈论。以此为框架，您的问题可能会得到更好的答案。然后，人们可以提出其他技术，例如让驾驶员选择放弃第一圈时间以支持第二轮比赛，以及更快或更慢的时间。等等。

另请注意，今年尝试改变排位赛，这通常将车手推入保守的一圈。 https://zh.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying 结果被视为灾难，并迅速被取消。

— 麦登克
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